Flusso di un campo vettoriale

Note

Sia il campo vettoriale $\overrightarrow{A}$ definito su una superficie $S$, dove ad ogni pezzo di superficie $\text{d}S$ un vettore normale ${\hat{u}}_n$: Definisco $\overrightarrow{A}\cdot {\hat{u}}_n\cdot \text{d}S$ come flusso del campo $\overrightarrow{A}$ attraverso una superficie $\text{d}S$. Possiamo approssimare il flusso totale come:

$${\Phi }_S(\overrightarrow{A})\simeq \sum _k{A}_k\cos {\theta }_k\text{ d}{S}_k$$

Che per $\text{d}{S}_k\to 0$:

$${\Phi }_S(\overrightarrow{A})={\int }_S\overrightarrow{A}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S$$

Legge di Gauss

Note

Il flusso di un campo elettrico attraverso una superficie chiusa è dato dal rapporto tra la carica elettrica totale interna alla superficie e la costante dielettrica assoluta del mezzo:

$$\Phi (\overrightarrow{E})=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$

Example

Sia il flusso di $\overrightarrow{E}$ generato da una carica puntiforme $Q$ attraverso una superficie chiusa di forma sferica: Sapendo che:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{E}& =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{Q}{||\overrightarrow{r}|{|}^2}\cdot \hat{r}\\ {\Phi }_S(\overrightarrow{E})& ={\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S\end{array}$$

Allora:

$${\Phi }_S(\overrightarrow{E})=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\oint \underset{1}{\underbrace{\hat{r}\cdot {\hat{u}}_n}}\text{ d}S=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$