Corrente elettrica

Note

Definiamo la corrente elettrica come una variazione di carica:

$$⟨I⟩=\frac{\Delta Q}{\Delta t}[I]=\text{A}=\frac{\text{C}}{\text{s}}$$

Per una variazione di tempo infinitesimale:

$$I=\frac{\text{d}}{\text{d}t}Q$$

Formalmente per calcolare la quantità di carica che attraversa $S$ nel tempo $\Delta t$:

$$\Delta Q={\rho }_v\cdot v\cdot \Delta t\cdot \cos \theta \cdot S={\rho }_v\cdot \overrightarrow{v}\cdot {\hat{u}}_{n}S\Delta t$$

Dove ${\rho }_v$ è la densità volumetrica di carica ($[{\rho }_v]=\frac{C}{m^3}$). E quindi:

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{\Delta Q}{\Delta t}=\underset{\text{Campo di densitaˋ di corrente}}{\underbrace{{\rho }_v\cdot \overrightarrow{v}}}\cdot {\hat{u}}_n\cdot S\\ & ={\Phi }_S(\overrightarrow{J})={\int }_S\overrightarrow{J}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S\end{array}$$

Materiale conduttore

Note

Un materiale conduttore è un materiale in cui le cariche siano libere di muoversi. In assenza di $\overrightarrow{E}$ la direzione di attraversamento della superficie $S$ è casuale (in media $I=0$). Applicando $\overrightarrow{E}$, gli elettroni saranno soggetti a una forza $-e\overrightarrow{E}$, e cominceranno all’interno del conduttore ad una velocità $\overrightarrow{v}$, detta di drift. Questo valore è proporzionale al campo elettrico:

$$\overrightarrow{v}=-\mu \overrightarrow{E}$$

Con $\mu$ mobilità delle cariche libere dipendente dal materiale.

Legge di Ohm

Note

La legge di Ohm mette in relazione tensione e corrente con la formula:

$$V=RI$$

Dove $R$ è la resistenza, e dipende sia dalle caratteristiche fisiche del materiale, sia dalla sua geometria.

Dimostrazione

Supponiamo per ipotesi che i portatori di carica siano elettroni (${\rho }_v<0$) e che il campo elettrico $\overrightarrow{E}$ sia costante all’interno del materiale. Calcoliamo la differenza di potenziale tra $A$ e $B$:

$$\begin{array}{rl}{V}_{AB}& =V_A-V_B=-{\int }_{\gamma }\overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=-E{\int }_{\gamma }\hat{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}\\ & =E\cdot \Delta l⟹E=\frac{V_{AB}}{\Delta l}\end{array}$$

Calcoliamo la quantità di carica che attraversa $\Delta S$ in $\Delta t$:

$$\begin{array}{rl}\Delta Q=& {\rho }_v\cdot v\cdot \Delta t\cdot \Delta S={\rho }_v\cdot \mu E\cdot \Delta t\cdot \Delta S\\ ⟹& I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}={\rho }_r\cdot \mu \cdot \frac{V_{AB}}{\Delta l}\Delta S\end{array}$$

Riscriviamo $I$ come:

$$\begin{array}{rl}I& =\gamma \cdot \frac{\Delta S}{\Delta l}\cdot V_{AB}=G\cdot V_{AB}\\ V_{AB}& =\rho \cdot \frac{\Delta l}{\Delta S}\cdot I=R\cdot I\end{array}$$

Con $\gamma$ conduttività ($[\gamma ]=\frac{\text{S}}{\text{m}}$), $G$ conduttanza ($[G]=\text{S}$), $\rho$ resistività ($[\rho ]=\text{ohm}\cdot \text{m}$) e $R$ resistenza $([R]=\text{ohm})$.