Campo magnetico tempo-variante

Note

Un campo magnetico $\overrightarrow{B}$ è detto tempo-variante quando:

$$\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{B}(x,y,z,t)\ne 0$$

Legge di Faraday-Henry

Note

In condizioni non stazionarie si ha che $\overrightarrow{E}$ non è conservativo, e di conseguenza non si può definire tensione e non vale la KVL. Si ha che:

$$-{\oint }_{\gamma }\overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\int }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}s$$

Dimostrazione

Consideriamo un circuito chiuso fermo e indeformabile posto in una regione di spazio in cui sia presente $\overrightarrow{B}$. Se $\overrightarrow{B}$ varia nel tempo, si osserva nel circuito una corrente, ossia delle cariche messe in movimento da un campo $\overrightarrow{E}$. Scriviamo la forza elettromotrice come:

$$V_{\text{fem}}=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\Phi }_S(B)$$

Cioè:

$$-\oint \overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\int }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S\underset{\text{Se il circuito eˋ fermo}}{\underbrace{=}}{\int }_S\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S$$

La corrente $I$ genera un campo magnetico ${\overrightarrow{B}}_{\text{ind}}$ che si oppone alla direzione del cambiamento di $\overrightarrow{B}$. Abbiamo quindi:

$$-{\oint }_{\gamma }\overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\int }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}s$$

Di conseguenza in condizioni non stazionarie $\overrightarrow{E}$ non è conservativo, e di conseguenza non si può definire tensione e non vale la KVL.

Forza elettromotrice

Definiamo la forza elettromotrice come il lavoro normalizzato alla carica che $\overrightarrow{E}$ compie per muovere le cariche da un punto ad un altro:

$$V_{\text{fem}}={\int }_{\gamma }\overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=\frac{L}{q}$$

Legge di Ampère-Maxwell

Note

Si ha che, in regime non stazionario, la legge di Ampère-Maxwell è definita come:

$${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}={\mu }_0\left({\int }_S\overrightarrow{j}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S+{\epsilon }_0{\int }_S\frac{\partial E}{\partial t}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S\right)$$

Si ha che per $L\to 0$, la superficie $S$ diventa chiusa:

$$\oint \overrightarrow{B}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=0$$

In generale se $\frac{\partial E}{\partial t}\ne 0$:

$${\oint }_S\overrightarrow{j}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S\ne 0$$

Quindi non vale la KCL.

Leggi di Maxwell per campi elettromagnetici tempo-varianti

Note

Definiamo le leggi di Maxwell per i campi elettromagnetici tempo-varianti come:

$$\begin{array}{rlr}& {\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=\frac{Q}{{\epsilon }_0}& \text{Legge di Gauss per il campo elettrico}\\ & {\oint }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=0& \text{Legge di Gauss per il campo magnetico}\\ & {\oint }_L\overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=-\frac{\text{d}}{\text{d}t}{\int }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S& \text{Legge di Faraday-Henry}\\ & {\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}={\mu }_0\left({\int }_S\overrightarrow{j}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S+{\int }_S\frac{\partial E}{\partial t}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S\right)& \text{Legge di Ampeˋre-Maxwell}\end{array}$$