Campo magnetico stazionario

Note

Un campo magnetico $\overrightarrow{B}$ è detto stazionario quando:

$$\frac{\partial }{\partial t}\overrightarrow{B}(x,y,z,t)=0$$

Legge di Ampère-Laplace

Note

Consideriamo il campo magnetico generato da una spira chiusa percorsa da una corrente $I$. Si ha che:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\oint }_{\gamma }\frac{{\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_r}{r^2}\text{ d}l$$

Dimostrazione

Consideriamo il campo magnetico generato da una spira chiusa percorsa da corrente. Si ha che:

$$\text{d}\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^2}\Delta Q\cdot \overrightarrow{v}\times {\hat{u}}_r$$

Dove $\Delta Q$ è la quantità di carica in un cilindretto di lunghezza $\Delta l$. Abbiamo che:

$$\overrightarrow{v}=\frac{\Delta l}{\Delta t}{\hat{u}}_t$$

E quindi:

$$\text{d}\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi r^2}\frac{\Delta Q}{\Delta t}\Delta l\cdot {\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_r=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi r^2}\Delta l\cdot {\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_r$$

Per calcolare $\overrightarrow{B}$, prendiamo il caso limite ${\lim }_{\Delta l\to 0}$ e scrivo l’integrale di linea:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\oint }_{\gamma }\frac{{\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_r}{r^2}\text{ d}l$$

Legge di Bio-Savart

Note

Si ha che, per un conduttore di lunghezza infinita:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}{\hat{u}}_{\theta }$$

Dimostrazione

Calcoliamo il $\overrightarrow{B}$ generato da una corrente in un conduttore di lunghezza infinita. Sapendo che:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{B}& =B{\hat{u}}_{\theta }\\ {\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_r& =\sin \theta {\hat{u}}_{\theta }\end{array}$$

Scrivendo la legge di Ampère-Laplace:

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{\sin \theta }{r^2}\text{ d}l$$

Sappiamo che $r^2=R^2+l^2$ oppure $R=r\sin (\pi -\theta )=r\sin \theta$. E quindi:

$$B=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{R}{(R^2+l^2{)}^{\frac{3}{2}}}\text{ d}l$$

Consideriamo l’integrale:

$${\int }_{-\infty }^{+\infty }\frac{R}{(R^2+l^2{)}^{\frac{3}{2}}}\text{ d}l={\int }_0^{+\infty }\frac{2R}{(R^2+l^2{)}^{\frac{3}{2}}}\text{ d}l=\frac{2Rl}{R^2\sqrt{R^2+l^2}}{|}_0^{+\infty }=\frac{2}{R}$$

E quindi si ha:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{2\pi R}{\hat{u}}_{\theta }$$

Campo magnetico in asse spira circolare

Note

Si ha che il campo magnetico per una generica spira circolare è definito come:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I{a}^2}{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}{\hat{u}}_x$$

Con $a$ raggio della spira e $x$ distanza del generico punto $P$ dalla spira. Nel centro della spira ha valore:

$$B_C=\frac{{\mu }_{0}I}{2a}$$

Dimostrazione

Consideriamo una spira circolare di raggio $a$. Consideriamo un punto generico $P$ distante $r$ da un punto generico $A$ sulla spira. Si ha che:

$$\text{d}\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }I\frac{\text{d}l}{r^2}$$

Si ha che $\text{d}\overrightarrow{B}=\text{d}{\overrightarrow{B}}_{\parallel }+\text{d}{\overrightarrow{B}}_{\perp }$. Per simmetria, importa soltanto $\text{d}{B}_{\parallel }$. Si ha quindi che:

$$\text{d}{\overrightarrow{B}}_{\parallel }=\text{d}\overrightarrow{B}\cos \alpha$$

Con $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}$. Quindi si ha:

$$\overrightarrow{B}={\oint }_{\gamma }\text{ d}{\overrightarrow{B}}_{\parallel }=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\oint \frac{a}{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}\text{ d}l=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }\frac{a}{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}{\oint }_{\gamma }\text{ d}l=\frac{{\mu }_{0}I{a}^2}{(a^2+x^2{)}^{\frac{3}{2}}}{\hat{u}}_x$$

Solenoide

Definiamo un solenoide come un avvolgimento di $N$ spire di lunghezza $l$ con:

$$\overrightarrow{B}={\mu }_0\frac{NI}{l}$$

Realmente un solenoide è un unico avvolgimento di $N$ spire in cui scorre una corrente $I$.

Legge di Ampère

Note

Si ha che la circuitazione del campo magnetico $\overrightarrow{B}$ lungo una linea chiusa $L$ è data dalla risultante delle correnti concatenate con $L$:

$${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot \text{d}l={\mu }_{0}I$$

Dalla definizione di $I={\int }_S\overrightarrow{j}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S={\Phi }_S(\overrightarrow{j})$:

$${\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot \text{ d}l={\mu }_0{\int }_S\overrightarrow{J}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S$$

Da qui ricaviamo che $\overrightarrow{B}$ è un campo non conservativo, e non è quindi possibile definire un potenziale magnetico.

Flusso magnetico

Note

Definiamo il flusso magnetico come:

$${\Phi }_B(\overrightarrow{B})=\int \overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S[{\Phi }_B]=\text{Wb}=\text{T}\cdot {\text{m}}^2$$

Si ha che il flusso totale di un campo magneti attraverso una superficie chiusa è sempre nulla (Legge di Gauss per il campo magnetico):

$${\oint }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=0=\frac{Q}{{\epsilon }_0}$$

Quindi il campo magnetico è solenoidale.

Campi solenoidali

Si definisce un campo vettoriale solenoidale se:

$${\oint }_S\overrightarrow{A}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=0$$

Leggi di Maxwell per campi elettromagnetici stazionari

Note

Definiamo le leggi di Maxwell per i campi elettromagnetici stazionari come:

$$\begin{array}{rlr}& {\oint }_S\overrightarrow{E}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=\frac{Q}{{\epsilon }_0}& \text{Legge di Gauss per il campo elettrico}\\ & {\oint }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=0& \text{Legge di Gauss per il campo magnetico}\\ & {\oint }_L\overrightarrow{E}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=0& \text{Circuitazione del campo elettrico (KVL)}\\ & {\oint }_L\overrightarrow{B}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}={\mu }_0{\int }_S\overrightarrow{j}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S& \text{Circuitazione del campo magnetico}\end{array}$$

Queste leggi valgono se:

$$\frac{\text{d}\overrightarrow{E}}{\text{d}t}\simeq 0\wedge \frac{\text{d}\overrightarrow{B}}{\text{d}t}\simeq 0$$