Auto induzione

Note

SI ha che, in una spira su una curva $\gamma$ in cui scorre una corrente $I$:

$${\Phi }_S(\overrightarrow{B})={\Phi }_{\overrightarrow{B}}(I)=I\underset{L}{\underbrace{{\int }_S\left(\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{\gamma }\frac{{\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_n}{r^2}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}\right)\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S}}[L]=\frac{\text{Wb}}{\text{A}}$$

Questa è l’equazione costitutiva dell’induttore. $L>0$ è detta auto induttanza del circuito. Se avessimo più di una spira, siamo nel caso di mutua induzione. Nel caso $n=2$, scorrono due correnti $I_1$ e $I_2$ che generano due campi magnetici ${\overrightarrow{B}}_1$ e ${\overrightarrow{B}}_2$. Nel caso in cui le linee di campo attraversino entrambe le spire avremo che:

$$\{\begin{array}{l}{\Phi }_1=L_{11}{I}_1+L_{12}{I}_2\\ {\Phi }_2=L_{21}{I}_1+L_{22}{I}_2\end{array}⟹L=\left(\begin{array}{cc}{L}_{11}& L_{12}\\ L_{21}& L_{22}\end{array}\right)$$

Dove $L$ è la matrice di induttanza. Generalmente si ha che $L_{12}=L_{21}=L_M$ con $L_M$ mutua induttanza.

Dimostrazione

Consideriamo una spira su una curva $\gamma$ in cui scorre una corrente $I$, e consideriamo il campo magnetico da essa generato come usando la legge di Ampère-Laplace:

$$\overrightarrow{B}=\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\oint }_{\gamma }\frac{{\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_n}{r^2}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}$$

Consideriamo il flusso autoconcatenato di $\overrightarrow{B}$:

$${\Phi }_S(\overrightarrow{B})={\int }_S\left(\frac{{\mu }_{0}I}{4\pi }{\oint }_{\gamma }\frac{{\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_n}{r^2}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}\right)\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S$$

Possiamo estrarre la corrente $I$ e fare in modo che:

$${\Phi }_S(\overrightarrow{B})={\Phi }_{\overrightarrow{B}}(I)=I\underset{L}{\underbrace{{\int }_S\left(\frac{{\mu }_0}{4\pi }{\oint }_{\gamma }\frac{{\hat{u}}_t\times {\hat{u}}_n}{r^2}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}\right)\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S}}$$

Questa è l’equazione costitutiva dell’induttore. $L>0$ è detta auto induttanza del circuito.

Flusso autoconcatenato

Definiamo il flusso autoconcatenato come il flusso di $\overrightarrow{B}$ attraverso una superficie $S$:

$${\Phi }_S(\overrightarrow{B})={\int }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S$$