Potenza ed energia elettrica

Note

La potenza istantanea di un bipolo è definita come:

$$p(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}W(t)=V(t)\cdot i(t)[p]=\text{W}$$

Definiamo inoltre potenza assorbita ed erogata. In convenzione normale:

$$\begin{array}{rl}{p}_a(t)& =V(t)\cdot i(t)\\ p_e(t)& =-V(t)\cdot i(t)\end{array}$$

Dimostrazione

Consideriamo un generico bipolo tra i nodi $A$ e $B$, immerso in un campo elettrico. Inoltre consideriamo la tensione $V_{AB}$ e la quantità di carica $\Delta Q$ in $A$. Sappiamo che:

$$L_{AB}=\Delta Q{\int }_{AB}\overrightarrow{E}\text{ d}\overrightarrow{l}=\Delta Q\left(-{\int }_{BA}\overrightarrow{E}\text{ d}\overrightarrow{l}\right)=\Delta Q\cdot V_{AB}$$

Siccome il lavoro è una differenza di energia:

$$L_{AB}=W(A)-W(B)=\Delta W$$

E quindi:

$$\frac{\Delta W}{\Delta t}=\frac{\Delta Q}{\Delta t}\cdot V_{AB}$$

E per $\Delta t\to 0$:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}W=i\cdot V_{AB}$$

Potenza istantanea di un n-poli

Note

Avendo un generico $n$-poli con nodo di riferimento, in convenzione normale:

$$p_a(t)=\sum _{k=1}^{n-1}{v}_k(t)i_k(t)$$

Teorema di Tellegen

Note

Avendo un circuito il cui grafo è connesso e contiene $n$ nodi e $l$ lati, orientato in convenzione normale per tutti i lati del grafo, definisco tensioni a correnti compatibili col grafo i seguenti vettori:

$$\begin{array}{rl}\overrightarrow{i}& =(i_1,\cdots ,i_n{)}^T\\ \overrightarrow{v}& =(v_1,\cdots ,v_n{)}^T\end{array}$$

Il teorema di Tellegen afferma che

$$\overrightarrow{v}{}^T\cdot \overrightarrow{i}={\overrightarrow{i}}^T\cdot \overrightarrow{v}=\sum _{k=1}^n{v}_k{i}_k=0$$

Dimostrazione

Usando le equazioni di Tableau:

$$\{\begin{array}{l}A\overrightarrow{i}=\overrightarrow{0}\\ A^T\cdot \overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\end{array}$$

Allora:

$$\overrightarrow{v}{}^T\cdot \overrightarrow{i}=(A^T\cdot \overrightarrow{u}{)}^T\cdot \overrightarrow{i}=\overrightarrow{u}{}^{T}A\overrightarrow{i}=0$$