Doppi bipoli lineari affini

Note

Un doppio bipolo è detto lineare affine quando le sue equazioni costitutive sono rappresentabili con equazioni costitutive:

$$A\overrightarrow{V}+B\overrightarrow{i}+\overrightarrow{c}=0\begin{array}{rl}\overrightarrow{v}& =(v_1,v_2)\\ \overrightarrow{i}& =(i_1,i_2)\end{array}$$

Se $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$, cioè il doppio bipolo non presenta generatori indipendenti, allora è possibile scrivere le equazioni costitutive nella forma:

$$\overrightarrow{u}=M\overrightarrow{w}$$

Dove $\overrightarrow{w}$ sono variabili indipendenti, e $\overrightarrow{u}$ sono le variabili dipendenti.

Matrici di rappresentazione

Note

Le basi di definizione canoniche di un doppio bipolo lineare affine sono:

$$\left(\begin{array}{c}{i}_1\\ i_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ V_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_1\\ V_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{i}_2\\ V_1\end{array}\right)$$

Nel caso della base corrente $(i_1,i_2)$, si ha la matrice di resistenza, e quindi che l’equazione costitutiva è:

$$V=R\overrightarrow{i}[R_{ij}]=\text{ohm}$$

Nel caso della base tensione $(V_1,V_2)$, si ha la matrice di conduttanza, e quindi che l’equazione costitutiva è:

$$\overrightarrow{i}=G\overrightarrow{v}[G_{ij}]=\text{S}$$

Nel caso della base $(i_1,V_2)$, si ha la matrice ibrida di tipo 1, e quindi che l’equazione costitutive è:

$$\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ i_2\end{array}\right)=H\left(\begin{array}{c}{i}_1\\ V_2\end{array}\right)[H_{11}]=\text{ohm}[H_{22}]=\text{S}[H_{21}],[H_{12}]=1$$

Nel caso della base $(i_2,V_1)$, si ha la matrice ibrida di tipo 2, e quindi che l’equazione costitutiva è:

$$\left(\begin{array}{c}{i}_1\\ V_2\end{array}\right)=H^{\prime }\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ i_2\end{array}\right)[H_{11}^{\prime }]=\text{S}[H_{22}^{\prime }]=\text{ohm}[H_{21}^{\prime }],[H_{12}^{\prime }]=1$$

Esiste inoltre il caso speciale della base $(V_2,-i_2)$, in questo caso si ha la matrice di trasmissione diretta, e quindi che l’equazione costitutiva è:

$$\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ i_1\end{array}\right)=T\left(\begin{array}{c}{V}_2\\ -i_2\end{array}\right)[T_{12}]=\text{ohm}[T_{21}]=\text{S}[T_{11}],[T_{22}]=1$$

Esiste anche il caso speciale della base $(V_1,i_1)$, in questo caso si ha la matrice di trasmissione inversa, e quindi che l’equazione costitutiva è:

$$\left(\begin{array}{c}{V}_2\\ i_2\end{array}\right)=T^{\prime }\left(\begin{array}{c}{V}_1\\ i_1\end{array}\right)[T_{12}^{\prime }]=\text{ohm}[T_{22}^{\prime }]=\text{S}[T_{11}^{\prime }],[H_{22}^{\prime }]=1$$

È possibile ricavare ogni matrice utilizzando il metodo delle prove semplici.

Simmetria di doppi bipoli

Note

Un doppio bipolo è detto simmetrico se è possibile scambiare le variabili descrittive lasciando invariate le equazioni costitutive. Cioè il doppio bipolo si comporta alla stessa maniera indipendentemente di come è collegato al circuito.

Condizioni di simmetricità per le matrici di rappresentazione

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$$\text{Matrice}$$

  			 |
  			 $$
  			 \text{Condizione di simmetricità}
  			 $$
  			 					|
  | -------------------------------------- | -------------------------------------------------------- |

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$$\text{Matrice di resistenza }R$$

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$$R_{11}=R_{22}$$

    |

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$$\text{Matrice di conduttanza }G$$

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$$G_{11}=G_{22}$$

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$$\text{Matrice ibrida di tipo 1 }H$$

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$$det(H)=1$$

    	|

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$$\text{Matrice ibrida di tipo 2 }{H}^{\prime }$$

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$$\det (H^{\prime })=1$$

    |

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$$\text{Matrice di trasmissione }T$$

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$$T_{11}=T_{22}$$

    	 |

La simmetria è una proprietà intrinseca di un doppio bipolo, cioè non dipende dalla rappresentazione scelta.