Teoria dei circuiti magnetici

Note

È possibile ricavare un equivalente magnetico ai circuiti a parametri concentrati elettrici. In questo caso i flussi $\psi$ sostituiranno le correnti $i$, le riluttanze $\mathcal{R}$ sostituiranno le resistenze $R$, e i generatori di forza elettromotrice $Ni$ sostituiranno i generatori tensione $E$.

Dimostrazione

Consideriamo un anello di materiale ferromagnetico di superficie ${\gamma }_1$. Su esso sono avvolti $N$ avvolgimenti in cui scorre una corrente $i$. Si ha che:

$$\Phi (B)=Li$$

Possiamo quindi ricavare la circuitazione sulla linea ${\gamma }_1$ e ${\gamma }_2$:

$$\begin{array}{rl}& {\oint }_{{\gamma }_1}\overrightarrow{H}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=Ni\simeq H_1{l}_1\\ & {\oint }_{{\gamma }_2}\overrightarrow{H}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=Ni=H_2{l}_2\end{array}$$

Assumendo $H_1,H_2$ costanti e $l_1,l_2$ lunghezze delle linee. Assumiamo:

$$l_1=l_2⟹H_1{l}_1=H_2{l}_2$$

Abbiamo però che:

$$B_1={\mu }_0{\mu }_r{H}_1>>{\mu }_0{H}_2=B_2$$

Possiamo quindi approssimare $\overrightarrow{B}$ a ${\overrightarrow{B}}_1$, cioè la componente interna al materiale ferromagnetico. Proviamo a calcolare quindi $\Phi (\overrightarrow{B})$:

$$\psi ={\int }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=B_{1}S={\mu }_0{\mu }_r{H}_{1}S$$

Dalla legge di Ampere so che $H_1=\frac{Ni}{l_1}$, quindi:

$${\psi }_1=\frac{{\mu }_r{\mu }_{0}NS}{l_1}i$$

Definiamo la riluttanza come:

$$\mathcal{R}=\frac{l_1}{{\mu }_r{\mu }_{0}S}[\mathcal{R}]=\frac{1}{\text{H}}$$

Abbiamo quindi che:

$$\psi =\frac{N}{\mathcal{R}}i⟺\Phi =N\psi =\underset{L}{\underbrace{\frac{N^2}{\mathcal{R}}}}i$$

Nel caso più avvolgimenti $i_1,N_1$ e $i_2,N_2$, si ha che:

$$\psi ={\int }_S\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=BS={\mu }_0{\mu }_{r}HS$$

Usando la legge di Ampere:

$${\oint }_{\gamma }\overrightarrow{H}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=N_1{i}_1+N_2{i}_2=Hl$$

Abbiamo quindi che:

$$H=\frac{N_1{i}_1}{l}+\frac{N_2{i}_2}{l}⟹\psi =\frac{{\mu }_r{\mu }_{0}S}{l}{N}_1{i}_1+\frac{{\mu }_r{\mu }_{0}S}{l}{N}_2{i}_2$$

Che semplificando:

$$\psi =\frac{N_1}{\mathcal{R}}{i}_1+\frac{N_2}{\mathcal{R}}{i}_2$$

Quindi questo oggetto ha matrice di induttanza:

$$L=\left(\begin{array}{cc}\frac{N_1^2}{\mathcal{R}}& \frac{N_1{N}_2}{\mathcal{R}}\\ \frac{N_1{N}_2}{\mathcal{R}}& \frac{N_2^2}{\mathcal{R}}\end{array}\right)$$

Possiamo da $\psi$ ricavare un equivalente circuitale magnetico ai circuiti a parametri concentrati elettrici, dove al posto di una corrente ho il flusso, al posto della resistenza ho una riluttanza, e al posto dei generatori di tensione ho generatori di forza magnetomotrice.

I circuiti magnetici sono quindi delle reti composte da lati formati da:

• Elementi magneticamente positivi: tratti di materiale ferromagnetici di lunghezza $L_i$, sezione $S_i$ e permeabilità relativa ${\mu }_{ri}$. Ha come equivalente elettrico una riluttanza di valore $\mathcal{R}=\frac{L_i}{{\mu }_{ri}{\mu }_0{S}_i}$.
• Elementi magneticamente attivi: tratti di materiale ferromagnetici di lunghezza $L_k$, sezione $S_k$ e permeabilità ${\mu }_{rk}$ su cui sono avvolte $N_k$ spire percorse da una corrente $i_k$. Ha come equivalente elettrico una riluttanza di valore $\mathcal{R}=\frac{L_k}{{\mu }_{rk}{\mu }_0{S}_k}$ in serie ad un generatore di forza magneto motrice di valore $N_k{i}_k$.

Definiamo inoltre la tensione magnetica come:

$$V_H=\mathcal{R}\psi$$

KCL magnetica

Note

Dalla legge di Gauss si può ricavare che la somma algebrica dei flussi in una superficie chiusa è nulla:

$$\sum _k{\psi }_k=0$$

Dimostrazione

Consideriamo una connessione di tratti ferromagnetici su una superficie $\Sigma$. Valgono le leggi di Gauss per il campo $\overrightarrow{B}$:

$${\oint }_{\Sigma }\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S=0$$

Siccome $\overrightarrow{B}$ è interamente contenuto all’interno del materia, si ha che:

$$\Sigma =S_1+S_2+S_3+\cdots$$

Quindi:

$${\oint }_{\Sigma }\overrightarrow{B}\cdot {\hat{u}}_n\text{ d}S\simeq B_1{S}_1+B_2{S}_2+B_3{S}_3+\cdots =0$$

KVL magnetica

Note

La somma algebrica delle tensioni magnetiche presenti su un percorso chiuso è pari alla somma delle forze elettromotrici.

Dimostrazione

Per la legge di Ampère si ha che:

$${\oint }_{\gamma }\overrightarrow{H}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}=\sum _i{N}_i{i}_i$$

Scomponendo in lati l’integrale possiamo dire:

$$\sum _i{H}_i{L}_i=\sum _i{N}_i{i}_i$$

Definendo:

$$V_H=R\psi =\frac{L}{\mu S}\psi =\frac{LBS}{\mu S}=\frac{L\mu HS}{\mu S}=HL$$

Possiamo dire che:

$$\sum _i{V}_{Hi}=\sum _i{N}_i{i}_i$$

Traferro

Note

Il traferro è un modo per gestire la non linearità dei materiali ferromagnetici. Per ipotesi, se $l_t<<\sqrt{S}$, allora $\psi$ nel suo traferro è approssimativamente uguale a quello nel ferro. Può essere utilizzato per gestire la non linearità.

Dimostrazione

La riluttanza complessiva è data dalla somma di ${\mathcal{R}}_t$ nel traferro e ${\mathcal{R}}_f$ nel ferro:

$$\mathcal{R}={\mathcal{R}}_f+{\mathcal{R}}_t=\frac{l_f}{{\mu }_r{\mu }_{0}S}+\frac{L_t}{{\mu }_{0}S}$$

Se ${\mu }_r>>1$ allora ${\mathcal{R}}_t>>{\mathcal{R}}_f$. Possiamo quindi limitarci a considerare solo la riluttanza nel traferro $\mathcal{R}\simeq {\mathcal{R}}_t$. Quindi l’induttanza complessiva è approssimata a:

$$L=\frac{1}{\mathcal{R}}\simeq \frac{{\mu }_{0}S}{l_t}$$

Andando ad inserire un traferro possiamo eliminare dalle variabili ${\mu }_r$. Assumendo che la sezione $S$ in ferro e traferro rimanga costante:

$${\psi }_f\simeq {\psi }_t⟹B_{f}S\simeq B_{t}S⟹{\mu }_r{\mu }_s{H}_f\simeq {\mu }_0{H}_t⟹H_z={\mu }_r{H}_f$$

Quindi il campo $H$ nel ferro e traferro è diverso. Approssimo $H$ con la sola componente $H_t$. Abbiamo che:

$${\oint }_{\gamma }\overrightarrow{H}\cdot \text{d}\overrightarrow{l}\simeq H_t{l}_z=Ni$$

Quindi il flusso diventa:

$$\psi =BS\simeq {\mu }_0{H}_{t}S=\frac{{\mu }_{0}S}{l_t}⟹\mathcal{R}=\frac{l_t}{{\mu }_{0}S}$$

Otteniamo che:

$$\Phi =N\psi =\frac{N^2}{{\mathcal{R}}_t}i$$