Teoria dei fasori

Note

Un fasore $\overline{x}$ è un numero complesso che ha come modulo e angolo rispettivamente l’ampiezza e la fase della sinusoide associata:

$$x(t)=X\cos (\omega t+\phi )⟺\overline{x}=X{e}^{i\phi }$$

Si ha che:

$$x(t)=\text{Re}\left(\overline{x}\cdot e^{i\omega t}\right)$$

Si ha che i fasori sono unici e lineari:

$$\begin{array}{rl}& {\overline{x}}_1={\overline{x}}_2⟺x_1(t)=x_2(t)\\ & \overline{x}=\alpha {\overline{x}}_1+\beta {\overline{x}}_2⟺x(t)=\alpha x_1(t)+\beta x_2(t)\end{array}$$

Normalmente nell’ambito di elettrotecnica si denota l’unità immaginaria con il simbolo $j$.

Derivabilità dei fasori

Note

Si ha che la derivata di un fasore è proporzionale a se stesso:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}\overline{x}=i\omega \overline{x}$$

Dimostrazione

Sia:

$$y(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}(X\cos (\omega t+\phi ))=-\omega X\sin (\omega t+\phi )$$

Siccome $\sin (x)=-\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$:

$$y(t)=\omega X\cos \left(\omega t+\phi +\frac{\pi }{2}\right)$$

Convertendo questo valore in fasore:

$$\overline{y}=\omega X{e}^{i\left(\phi +\frac{\pi }{2}\right)}=\omega X{e}^{i\phi }\left(\cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2}\right)=i\omega X{e}^{i\phi }$$

Notando che $\overline{x}=X{e}^{i\phi }$ è il fasore di $x(t)$, si ha che:

$$\overline{y}=i\omega \overline{x}$$

Metodo dei fasori

Note

Dato un circuito costituito da $n$-terminali lineari, dinamici e sorgenti impressive di tipo sinusoidale a frequenza fissa, possiamo sostituire ciascuna tensione e corrente con il corrispondente fasore.

Nel dominio dei fasori le KCL e KVL continuano ad essere valide.