Teorema di Boucherot

Note

Il teorema di Boucherot estende il teorema di Tellegen al regime sinusoidale:

$$\{\begin{array}{l}\sum _{k=1}^l{P}_k=0\\ \sum _{k=1}^l{Q}_k=0\end{array}$$

Dimostrazione

Dal teorema di Tellegen si ha:

$$\overrightarrow{V}{}^T(t)\cdot \overrightarrow{i}(t)=0$$

Con $\overrightarrow{V}$ e $\overrightarrow{i}$ vettori di tensioni e correnti compatibili con il grafo del circuito. Il teorema di Tellegen vale anche in regime sinusoidale. Passando al dominio dei fasori:

$$\overrightarrow{\overline{V}}{}^T\cdot \overrightarrow{\overline{i}}=0$$

Per ragionare in potenza complessa, si vuole avere che:

$$\frac{1}{2}\overrightarrow{\overline{V}}{}^T\cdot \overrightarrow{\overline{i}}{}^{\ast }=0$$

Se $\overrightarrow{\overline{i}}$ è un vettore di correnti compatibile con il grafo del circuito, verifichiamo che lo è anche $\overrightarrow{\overline{i}}{}^{\ast }$. Scriviamo la KCL al $k$-esimo nodo del circuito:

$$\sum _{h=1}^n{\alpha }_h{\overline{i}}_h=0$$

E quindi:

$$\sum _{h=1}^n{\alpha }_h\text{Re}({\overline{i}}_h)+i\sum _{h=1}^n{\alpha }_h\text{Im}({\overline{i}}_h)=0$$

Che è verificata se e solo se:

$$\{\begin{array}{l}\sum _{h=1}^n{\alpha }_h\text{Re}({\overline{i}}_h)=0\\ \sum _{h=1}^n{\alpha }_h\text{Im}({\overline{i}}_h)=0\end{array}$$

Sostituisco ad ${\overline{i}}_h$ il suo complesso coniugato:

$$\sum _{h=1}^n{\alpha }_h{\overline{i}}_h^{\ast }=0$$

Si ha quindi che:

$$\{\begin{array}{l}\sum _{h=1}^n{\alpha }_h\text{Re}({\overline{i}}_h)=\sum _{h=1}^n{\alpha }_h\text{Re}({\overline{i}}_h^{\ast })=0\\ \sum _{h=1}^n{\alpha }_h\text{Im}({\overline{i}}_h)=-\sum _{h=1}^n{\alpha }_h\text{Im}({\overline{i}}_h^{\ast })=0\end{array}$$

Che è verificata, di conseguenza $\overrightarrow{\overline{i}}{}^{\ast }$ è un vettore di correnti compatibili con il grafo del circuito. Quindi:

$$\frac{1}{2}\overrightarrow{\overline{V}}{}^T\cdot \overrightarrow{\overline{i}}{}^{\ast }=\sum _{k=1}^l(P_k+i{Q}_k)=0$$

E di conseguenza:

$$\{\begin{array}{l}\sum _{k=1}^l{P}_k=0\\ \sum _{k=1}^l{Q}_k=0\end{array}$$

Rifasamento

Note

Sia un circuito composto da un generatore di tensione $\overline{E}$ connesso ad un carico $z(i\omega )$. Per farlo è necessario mettere in parallelo al carico un condensatore di valore:

$$C=\frac{\sin {\phi }_z}{\omega |z|}$$

Dimostrazione

Sia un circuito composto da un generatore di tensione $\overline{E}$ connesso ad un carico $z(i\omega )$. Tipicamente $z(i\omega )$ è induttiva, e avrà quindi $Q_Z$ potenza reattiva, mentre il generatore $\overline{E}$ avrà potenza reattiva $Q_G$. Per il teorema di Boucherot si ha che:

$$Q_G+Q_Z=0$$

Minimizziamo la potenza reattiva del generatore $\overline{E}$. Per farlo poniamo in parallelo tra il carico e il generatore un condensatore di rifasamento di conduttanza $-\frac{i}{\omega C}$. In questo caso il teorema di Boucherot diventa:

$$Q_G+Q_Z+Q_C=0$$

Voglio imporre $Q_G=0$, e quindi $Q_Z+Q_C=0$. Si ha che:

$$Q=\frac{VI}{2}\sin {\phi }_z$$

Nel caso della nostra impedenza:

$$Q_Z=\frac{|\overline{E}{|}^2}{2|z|}\sin {\phi }_z$$

Mentre per il condensatore:

$$Q_C=-\frac{\omega C|\overline{E}{|}^2}{2}$$

Quindi:

$$\frac{|\overline{E}{|}^2}{2|z|}\sin {\phi }_z-\frac{\omega C|\overline{E}{|}^2}{2}=0$$

E di conseguenza, per un rifasamento perfetto e completo si deve avere:

$$C=\frac{\sin {\phi }_z}{\omega |z|}$$

In alternativa, per rifasare perfettamente un carico, è sufficiente far si che il carico complessivo sia puramente resistivo:

$$C=\frac{L}{R^2+{\omega }^2{L}^2}$$