Potenza istantanea in regime sinusoidale

Note

Consideriamo un circuito dinamico, lineare, tempo-invariante che opera in regime sinusoidale alla frequenza $\omega$. Definiamo la potenza assorbita di un generico lato come:

$$P_a(t)=\frac{VI}{2}\cos {\phi }_z+\frac{VI}{2}\cos (2\omega t+2{\phi }_V)+\frac{VI}{2}\sin {\phi }_z\sin (2\omega t+2{\phi }_V)$$

Definiamo inoltre la potenza media come:

$$⟨P_a(t)⟩=\frac{1}{T}{\int }_t^{t+T}{P}_A(t)\text{ d}t=\frac{VI}{2}\cos {\phi }_z$$

Dimostrazione

Vogliamo scrivere l’espressione della potenza istantanea assorbita da un generico lato, a cui associamo $v(t)$ e $i(t)$ prese in convenzione normale:

$$\begin{array}{rl}v(t)& =V\cos (\omega t+{\phi }_V)\\ i(t)& =I\cos (\omega t+{\phi }_I)\end{array}$$

Quindi la potenza assorbita è definita come:

$$P_a(t)=V(t)I(t)=VI\cos (\omega t+{\phi }_V)\cos (\omega t+{\phi }_I)$$

Sfruttando la formula trigonometrica $\cos \alpha \cdot \cos \beta =\frac{1}{2}(\alpha -\beta )+\frac{1}{2}(\alpha +\beta )$:

$$\begin{array}{rl}{P}_a(t)& =\frac{VI}{2}\cos ({\phi }_V-{\phi }_I)+\frac{VI}{2}\cos (2\omega t+{\phi }_V+{\phi }_I+{\phi }_V-{\phi }_V)\\ & =\frac{VI}{2}\cos ({\phi }_V-{\phi }_I)+\frac{VI}{2}\cos (\underset{\alpha }{\underbrace{2\omega t+2{\phi }_V}}+\underset{\beta }{\underbrace{{\phi }_I-{\phi }_V}})\end{array}$$

Sfruttando la formula trigonometrica della somma $\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ e considerando la parità del coseno e la disparità del seno:

$$\frac{VI}{2}\cos ({\phi }_V-{\phi }_I)+\frac{VI}{2}\cos ({\phi }_V-{\phi }_I)\cos (2\omega t+2{\phi }_V)+\frac{VI}{2}\sin ({\phi }_V-{\phi }_I)\sin (2\omega t+2{\phi }_V)$$

Siccome:

$$\overline{V}=z(i\omega )\overline{I}⟹V{e}^{i{\phi }_V}=z{e}^{i{\phi }_z}\cdot I{e}^{i\phi I}$$

E quindi le fasi sono ${\phi }_V-{\phi }_I={\phi }_z$:

$$P_a(t)=\underset{\text{Potenza media}}{\underbrace{\frac{VI}{2}\cos {\phi }_z}}+\underset{\text{Potenza attiva istantanea}}{\underbrace{\underset{P}{\underbrace{\frac{VI}{2}\cos ({\phi }_z)}}\cos (2\omega t+2{\phi }_V)}}+\underset{\text{Potenza reattiva istantanea}}{\underbrace{\underset{Q}{\underbrace{\frac{VI}{2}\sin ({\phi }_z)}}\sin (2\omega t+2{\phi }_V)}}$$

Potenza istantanea di un resistore in regime sinusoidale

Si ha che, in fasori, l’equazione costitutiva è:

$$V{e}^{i{\phi }_V}=R{e}^{i0}\cdot I{e}^{i{\phi }_I}$$

E quindi ${\phi }_z=0$. Di conseguenza: si ha:

$$P_a(t)=\frac{VI}{2}+\frac{VI}{2}\cos (2\omega t+2{\phi }_V)$$

Potenza istantanea di un condensatore in regime sinusoidale

Si ha che, in fasori, l’equazione costitutiva è:

$$V{e}^{i{\phi }_V}=\frac{1}{\omega C}{e}^{-\frac{\pi }{2}i}I{e}^{i{\phi }_I}$$

E quindi ${\phi }_z=-\frac{\pi }{2}$. Di conseguenza si ha:

$$P_a(t)=-\frac{VI}{2}\sin (2\omega t+2{\phi }_V)$$

Potenza istantanea di un induttore in regime sinusoidale

Si ha che, in fasori, l’equazione costitutiva è:

$$V{e}^{i{\phi }_V}=\omega L{e}^{-\frac{\pi }{2}i}I{e}^{i{\phi }_I}$$

E quindi ${\phi }_z=\frac{\pi }{2}$. Di conseguenza si ha:

$$P_a(t)=\frac{VI}{2}\sin (2\omega t+2{\phi }_V)$$

Potenza complessa

Note

Definiamo come potenza complessa erogata il seguente numero complesso:

$$\begin{array}{rl}\hat{A}& =P+iQ=\frac{VI}{2}\cos ({\phi }_z)+i\frac{VI}{2}\sin ({\phi }_z)=\frac{VI}{2}{e}^{i{\phi }_z}\\ [\hat{A}]& =\text{VA}[P]=\text{W}[Q]=\text{VAR}\end{array}$$

Da questa definizione definiamo la potenza apparente $|\hat{A}|=\sqrt{P^2+Q^2}$, con $P=|\hat{A}|\cos {\phi }_z$ e $Q=|\hat{A}|\sin {\phi }_z$.

È possibile ridurre la formula, utilizzando i fasori, a:

$$\hat{A}=\frac{\overline{V}\cdot {\overline{I}}^{\ast }}{2}$$

Dove ${\overline{I}}^{\ast }$ è il complesso coniugato di $\overline{I}$.

Triangolo delle potenze

Note

Abbiamo che $\overrightarrow{V}=z\overrightarrow{i}$ e quindi che:

$$\{\begin{array}{l}V=|z|I\\ {\phi }_V-{\phi }_I=\phi \end{array}$$

Sappiamo anche che:

$$\begin{array}{rl}\hat{A}& =P+iQ\\ P& =\frac{VI}{2}\cos \phi \\ Q& =\frac{VI}{2}\sin \phi \end{array}$$

Consideriamo $\phi \in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$. Osserviamo che per qualunque valore di $\phi$ la potenza attiva (reale) sarà sempre positiva. Se $\phi >0$, e quindi $Q>0$, viceversa se $\phi <0$ anche $Q<0$, possiamo quindi capire facilmente se l’impedenza è capacitiva o induttiva.

Definiamo il fattore di potenza come:

$$\cos (\phi )=\frac{P}{|\hat{A}|}$$

Se $P$ è in ritardo rispetto ad $|\hat{A}|$, allora l’impedenza è induttiva, viceversa se $P$ è in anticipo rispetto ad $|\hat{A}|$, allora l’impedenza è capacitiva.