Induttori mutualmente accoppiati

Note

È possibile estendere l’equazione costitutiva di un induttore $\Phi =Li$ ad un numero $n$ arbitrario di avvolgimenti:

$$\overrightarrow{\Phi }=L\overrightarrow{i}$$

Dove $L$ è la matrice di induttanze.

Caso $n=2$

Note

Per il caso $n=2$ si ha che il componente è rappresentato come: Si ha che:

$$L=\left(\begin{array}{cc}{L}_1& M\\ M& L_2\end{array}\right)⟺\{\begin{array}{l}{V}_1=L_1\frac{\text{d}{i}_1}{\text{d}t}+M\frac{\text{d}{i}_2}{\text{d}t}\\ V_2=M\frac{\text{d}{i}_1}{\text{d}t}+L_2\frac{\text{d}{i}_2}{\text{d}t}\end{array}$$

Dove $M$ è detta mutua induttanza. Definiamo inoltre il coefficiente di accoppiamento come:

$$k=\frac{M}{\sqrt{L_1{L}_2}}$$

Si ha che se $\det (L)=0$ ci troviamo nella condizione di accoppiamento perfetto ($k=\pm 1$). Si ha inoltre che l’energia immagazzinata sarà:

$$p(t)=\frac{\text{d}}{\text{d}t}W(t)$$

Dimostrazione

$$\begin{array}{rl}p(t)& =V_1{i}_1+V_2{i}_2=L_1\frac{\text{d}{i}_1}{\text{d}t}{i}_1+M\frac{\text{d}{i}_2}{\text{d}t}{i}_1+M\frac{\text{d}{i}_1}{\text{d}t}{i}_2+L_2\frac{\text{d}{i}_2}{\text{d}t}{i}_2\\ & =\frac{\text{d}}{\text{d}t}\underset{W(t)}{\underbrace{\left(\frac{1}{2}{L}_1{i}_1^2+\frac{1}{2}{L}_2{i}_2^2+M{i}_1{i}_2\right)}}\end{array}$$