Equazioni costitutive nel dominio dei fasori

Note

Componente	Dominio del tempo	Dominio dei fasori
Corto circuito

$$V(t)=0$$

  															  |
  															  $$
  															  \overline{V}=0
  															  $$
  															  																										  |

| Circuito aperto |

$$i(t)=0$$

  															  |
  															  $$
  															  \overline{i}=0
  															  $$
  															  																										  |

| Generatore indipendente di tensione |

$$V(t)=E\cos (\omega t+{\phi }_V)$$

  									|
  									$$
  									\overline{V}=E e^{i\varphi_{V}}
  									$$
  																															 |

| Generatore indipendente di corrente |

$$i(t)=A\cos (\omega t+{\phi }_i)$$

  									|
  									$$
  									\overline{i}=Ae^{i\varphi_{i}}
  									$$
  																															  |

| Resistore |

$$V(t)=Ri(t)$$

  														  |
  														  $$
  														  \overline{V}=R\overline{i}
  														  $$
  														  																							  |

| Generatore pilotato (generico) |

$$\{\begin{array}{l}{V}_1(t)=r{i}_2(t)\\ V_2(t)=0\end{array}$$

  			  |
  			  $$
  			  \begin{cases}\overline{V}_{1}(t)=r\overline{i}_{2}(t)\\\overline{V}_{2}(t)=0\end{cases}
  			  $$
  			  								 |

| Trasferitore di potenza ideale |

$$\{\begin{array}{l}{V}_1(t)=n{V}_2(t)\\ i_1(t)=-\frac{1}{n}{i}_2(t)\end{array}$$

|

$$\{\begin{array}{l}{\overline{V}}_1(t)=n{\overline{V}}_2(t)\\ {\overline{i}}_1(t)=-\frac{1}{n}{\overline{i}}_2(t)\end{array}$$

    |

| Condensatore |

$$i(t)=C\frac{\text{d}V(t)}{\text{d}t}$$

  							  |
  							  $$
  							  \overline{i}=i\omega C\overline{V}
  							  $$
  							  																					  |

| Induttore |

$$V(t)=L\frac{\text{d}i(t)}{\text{d}t}$$

  							  |
  							  $$
  							  \overline{V}=i\omega L\overline{i}
  							  $$
  							  																					  |

Impedenza e ammettenza

Note

L’impedenza e ammettenza generalizzano al dominio dei fasori i concetti di resistenza e conduttanza. Definiamo l’impedenza come:

$$z(i\omega )=\frac{\overline{V}}{\overline{i}}=\underset{\text{Resistenza}}{\underbrace{R}}+i\underset{\text{Reattanza}}{\underbrace{X}}[z]=\text{ohm}$$

Analogamente, definiamo l’ammettenza come:

$$y(i\omega )=\frac{\overline{i}}{\overline{V}}=\underset{\text{Conduttanza}}{\underbrace{G}}+i\underset{\text{Suscettanza}}{\underbrace{B}}[y]=\text{S}$$

Si ha che $z$ e $y$ sono numeri complessi, tuttavia non sono fasori.

Analisi fasoriale di un resistore

Si ha che l’impedenza di un resistore è definita come:

$$z=R$$

Si ha quindi la relazione nel dominio dei fasori:

$$\{\begin{array}{l}V=Ri\\ V{e}^{i{\phi }_V}=R{e}^{i0}\cdot I{e}^{i{\phi }_I}\end{array}⟹{\phi }_V={\phi }_I+0$$

E quindi geometricamente:

Analisi fasoriale di un condensatore

Si ha che l’impedenza di un condensatore è definita come:

$$z=i\left(-\frac{1}{\omega C}\right)$$

Si ha quindi come relazione nel dominio dei fasori:

$$\{\begin{array}{l}V=\frac{1}{\omega C}I\\ V{e}^{i{\phi }_V}=\frac{1}{\omega C}{e}^{-i\frac{\pi }{2}}\cdot I{e}^{i{\phi }_I}\end{array}⟹{\phi }_V={\phi }_I-\frac{\pi }{2}$$

E quindi geometricamente:

Analisi fasoriale di un induttore

Si ha che la reattanza di un di un induttore è definita come:

$$y=i(\omega L)$$

Si ha quindi come relazione nel dominio dei fasori:

$$\{\begin{array}{l}V=\omega LI\\ V{e}^{i{\phi }_V}=\omega L{e}^{i\frac{\pi }{2}}\cdot I{e}^{i{\phi }_I}\end{array}⟹{\phi }_V={\phi }_I+\frac{\pi }{2}$$

E quindi geometricamente:

Classificazione delle impedenze

Note

Si ha che un impedenza $z(i\omega )$ è:

• Capacitiva se $x(\omega )<0$
• Induttiva se $x(\omega )>0$
• Resistiva se $x(\omega )=0$

Pulsazione di risonanza

Note

Dati un induttore e un condensatore in serie, si ottiene un impedenza equivalente con equazione costitutiva:

$$z(i\omega )=i\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)=i\frac{{\omega }^{2}LC-1}{\omega C}$$

Si ha che se $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$ allora $z=0$, e quindi l’impedenza equivalente si comporta come un corto circuito.

Dati, invece, un induttore e un condensatore in parallelo, si ottiene un impedenza equivalente con equazione costitutiva:

$$y(i\omega )=i\left(\omega C-\frac{1}{\omega L}\right)=i\frac{{\omega }^{2}LC-1}{\omega L}$$

Si ha che se $\omega =\frac{1}{\sqrt{LC}}$ allora $y=0$, e quindi l’impedenza equivalente si comporta compo un circuito aperto.