Circuiti del primo ordine con discontinuità

Note

Esistono due tipi di discontinuità:

• Ingressi descritti da funzioni tempo-varianti, quindi la discontinuità non cambia la topologia del circuito
• Circuito contenenti interruttori, la discontinuità cambia la topologia

Discontinuità del primo tipo

Note

Consideriamo la funzione di Heaviside:

$$u(x)\text{ o }1(x)⟺u(x-x_0)=\{\begin{array}{ll}1& x>x_0\\ 0& x<x_0\end{array}$$

E consideriamo le seguenti funzioni:

$$\begin{array}{r}{e}_1(t)=\cos (\omega t)\cdot u(t)\\ e_2(t)=\sin (\omega t)\cdot u(t)\end{array}$$

Assumiamo che gli ingressi siano limitati:

$$\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\lambda x+u(t)$$

E integriamo l’equazione di stato a cavallo della discontinuità:

$${\int }_{t_0^{-}}^{t_0^{+}}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=\lambda {\int }_{t_0^{-}}^{t_0^{+}}x(t)\text{ d}t+{\int }_{t_0^{-}}^{t_0^{+}}u(t)\text{ d}t=0+0$$

Questo integrale vale $0$ perché le variabili sono limitate:

$${\int }_{t_0^{-}}^{t_0^{+}}x(t)=x(t_0^{+})-x(t_0^{-})=0⟹x(t_0^{+})=x(t_0^{-})$$

Quindi le variabili di stato sono continue in presenza di una discontinuità. Le variabili non di stato possono essere discontinue.