Risoluzione di circuiti RL e RC del primo ordine

Note

Un circuito RL o RC del primo ordine comprende un solo condensatore/induttore collegato ad una rete elettrica formata da soli componenti adinamici, lineari, tempo-invarianti e al più generatori indipendenti.

Processo di risoluzione

Nel caso del condensatore troviamo l’equivalente di Norton alla rete lineare, e ricaviamo tramite KCL l’equazione di stato del circuito:

$$\frac{\text{d}{V}_C}{\text{d}t}=-\frac{1}{RC}{V}_C-\frac{1}{C}a(t)$$

Nel caso dell’induttore troviamo l’equivalente di Thevenin alla rete lineare, e ricaviamo tramite KVL-II l’equazione di stato del circuito:

$$\frac{\text{d}{i}_L}{\text{d}t}=-\frac{R}{L}{i}_L+\frac{1}{L}e(t)$$

Equazioni di stato

Note

Per i circuiti del primo ordine, un’equazione di stato è un equazione differenziale ordinaria del primo ordine a coefficienti costanti. La risolviamo tramite il generico problema di Cauchy:

$$\{\begin{array}{l}\frac{\text{d}x}{\text{d}t}=-\lambda x+u(t)\\ x(t_0)=x_0\end{array}$$

Dove $x$ è la variabile di stato, $\lambda$ è la frequenza libera ($[\lambda ]=\text{Hz}$) e $u(t)$ sono gli ingressi. La soluzione di questa equazione sarà:

$$x(t)=\left(x_0+\frac{u(t)}{\lambda }\right)e^{\lambda (t-t_0)}-\frac{u(t)}{\lambda }$$

Dimostrazione

La soluzione di un Problema di Cauchy di un EDO del primo ordine è una soluzione particolare $\overline{x}:J\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dell’integrale generale del EDO che soddisfa le condizioni del sistema.

Per trovare l’integrale generale della EDO dobbiamo trovare la soluzione dell’omogenea associata, e la soluzione dell’integrale particolare. Cerchiamo la soluzione dell’omogenea associata:

$$\frac{\text{d}}{\text{d}t}{x}_{\text{OA}}(t)=\lambda x_{\text{OA}}$$

Si ha che la sua soluzione è:

$$x_{\text{OA}}(t)=k{e}^{\lambda (t-t_0)}$$

Affinché il circuito sia stabile ($\lambda <0$) è necessario che la risposta libera si esaurisca nel tempo $\tau =\frac{1}{|\lambda |}[\tau ]=\text{S}$. Si ha quindi che per $t>t_0+(5/10)t$ allora $x_{\text{OA}}(t)\simeq 0$

Troviamo adesso la soluzione dell’integrale particolare, che è:

$${\gamma }_0=-\frac{u}{\lambda }$$

L’integrale generale è dato dalla somma della soluzione dell’omogenea associata all’integrale particolare:

$$x(t)=k{e}^{\lambda (t-t_0)}-\frac{u}{\lambda }$$

Imponendo le condizioni iniziali $x(t_0)=x_0$ otteniamo:

$$k=x_0+\frac{u}{\lambda }$$

E di conseguenza:

$$x(t)=\left(x_0+\frac{u(t)}{\lambda }\right)e^{\lambda (t-t_0)}-\frac{u(t)}{\lambda }$$