Teorema di esistenza e unicità della soluzione

Note

Il teorema di esistenza e unicità della soluzione afferma che la soluzione di un circuito esiste ed è unica se e solo se:

$$\det (T(t))\ne 0\forall t$$

Dimostrazione

Si consideri una rete elettrica di $l$ lati e $n$ nodi, si hanno quindi $2l+n-1$ incognite nel circuito. E si considerino le equazioni di Tableau:

$$\{\begin{array}{ll}A\overrightarrow{i}=\overrightarrow{0}& n-1\\ A^T\overrightarrow{u}-\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}& l\end{array}$$

Scriviamo le $l$ equazioni costitutive dei componenti $j$ nella seguente forma:

$$M_j{\overrightarrow{V}}_j+N_j{\overrightarrow{i}}_j={\overrightarrow{z}}_j$$

Dove ${\overrightarrow{v}}_j$ sono le tensioni descrittive del $j$-esimo componente, ${\overrightarrow{i}}_j$ sono le correnti descrittive, e ${\overrightarrow{z}}_j$ sono i termini noti. Scriviamo quindi tutte le $l$ equazioni costitutive accorpando tutte le sottomatrici $M_j,N_j$ e i vettori $z_j$:

$$M(t)\overrightarrow{V}+N(t)\overrightarrow{i}=\overrightarrow{z}(t)$$

Aggiungiamo questa equazione alle equazioni di Tableau:

$$\{\begin{array}{ll}A\overrightarrow{i}=\overrightarrow{0}& n-1\\ A^T\overrightarrow{u}-\overrightarrow{V}=\overrightarrow{0}& l\\ M(t)\overrightarrow{V}+N(t)\overrightarrow{i}=\overrightarrow{z}& l\end{array}$$

Raccogliamo le incognite nel vettore $\overrightarrow{w}=(\overrightarrow{u}{}^T,\overrightarrow{V}{}^T,\overrightarrow{i}{}^T{)}^T$:

$$\underset{T(t)}{\underbrace{\left(\begin{array}{ccc}0& 0& A\\ -A^T& 1& 0\\ 0& M& N\end{array}\right)}}\underset{\overrightarrow{w}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{u}\\ \overrightarrow{V}\\ \overrightarrow{i}\end{array}\right)}}=\underset{\overrightarrow{y}(t)}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}\overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{0}\\ \overrightarrow{z}\end{array}\right)}}$$

Dove $0$ è una matrice di zeri, e $1$ è la matrice identità di opportune dimensioni. Questo è il sistema risolutivo del circuito. La cui soluzione è:

$$\overrightarrow{w}=T^{-1}(t)\cdot \overrightarrow{y}(t)$$