Principio di sovrapposizione degli effetti

Note

Il principio di sovrapposizione degli effetti afferma che l’intensità di corrente e la tensione associata a ciascun lato del grafo corrispondente al circuito sono pari, rispettivamente, alla somma delle intensità di corrente e delle tensioni che ciascuno dei generatori indipendenti produrrebbe se agisse da solo con tutti gli altri generatori spenti:

$$\begin{array}{rlr}V& =\sum _{k=1}^N{\alpha }_k{E}_k+\sum _{j=1}^M{R}_j{A}_j& [a_k]=\text{1},[R_j]=\text{ohm}\\ i& =\sum _{k=1}^N{g}_k{E}_k+\sum _{j=1}^M{\beta }_j{A}_j& [{\beta }_k]=\text{1},[g_j]=\text{S}\end{array}$$

Dimostrazione

Dall’equazione dei componenti si ha che:

$$\overrightarrow{i}=N^{-1}(\overrightarrow{z}-M\overrightarrow{v})$$

Usando l’equazione di Tableau $\overrightarrow{v}=A^T\overrightarrow{u}$:

$$\overrightarrow{i}=N^{-1}(\overrightarrow{z}-M{A}^T\overrightarrow{u})$$

Usando l’altra equazione di Tableau $A\overrightarrow{i}=0$:

$$\begin{array}{rl}& A{N}^{-1}(\overrightarrow{z}-M{A}^T\overrightarrow{u})=\overrightarrow{0}\\ ⟹& \underset{b}{\underbrace{A{N}^{-1}}}\overrightarrow{z}=\underset{a}{\underbrace{A{N}^{-1}M{A}^T}}\overrightarrow{u}\\ ⟹& a\overrightarrow{u}=b\overrightarrow{z}\\ ⟹& \overrightarrow{u}=\underset{c}{\underbrace{a^{-1}b}}\overrightarrow{z}\end{array}$$

Dove $\overrightarrow{u}$ è una combinazione lineare tramite la matrice $c$ degli ingressi contenuti nel vettore dei termini noti $\overrightarrow{z}$. Per ricavare la corrente:

$$\begin{array}{rl}& \overrightarrow{v}=A^T\overrightarrow{u}=\underset{d}{\underbrace{A^{T}c}}\overrightarrow{z}\\ ⟹& \overrightarrow{i}=N^{-1}(\overrightarrow{z}-M{A}^{T}c\overrightarrow{z})=\underset{f}{\underbrace{N^{-1}(1-M{A}^{T}c)}}\overrightarrow{z}\\ ⟹& \overrightarrow{i}=f\overrightarrow{z}\end{array}$$