Siano e due intervalli in . Sia una curva con sostegno e sia una funzione derivabile in e invertibile. Chiamiamo riparametrizzazione di (relativa a ) la curva definita come: viene detta cambiamento di variabile.
Tip
derivabile in e invertibile implica che sia monotona, cioè strettamente crescente o strettamente decrescente.
Teorema dell'invarianza della lunghezza di una curva
Sia una curva regolare con sostegno e sia una riparametrizzazione di relativa al cambiamento di variabile , cioè: Abbiamo che:
Dimostrazione
Ricordiamo che siccome è regolare, abbiamo che: Usando la formula di derivazione di funzioni composte componente per componente otteniamo che E quindi: Eseguiamo quindi il cambio di variabile , che implica che e per gli estremi di integrazione abbiamo due possibilità:
Se è crescente, allora e e quindi: In questo caso abbiamo che:
Se è decrescente, allora e : In questo caso abbiamo che:
Parametrizzazione come grafico
Note
Un sostegno si dice parametrizzabile come grafico di una funzione se esiste una funzione tale che è il sostegno della curva definita da: con:
Lunghezza d'arco
Note
Se è una curva con sostegno , la lunghezza d'arco di da a , è una funzione di , definita da: Se è regolare questa, è la formula della lunghezza del suo sostegno da a .
Quando l'integrale a destra nella formula esiste, mentre la lunghezza d'arco elementare, quando calcolabile, è la quantità:
Tip
Abbiamo che se la funzione lunghezza d'arco esiste, allora:
è derivabile e invertibile (e quindi può essere considerato come cambiamento di variabile)
possiamo riparametrizzare ristretto alla lunghezza d'arco, che è anche detta parametro d'arco o ascissa curvilinea, cioè . Si può verificare che e