Curve in uno spazio n-dimensionale

Note

Una curva in è definita da funzioni Dove è un intervallo che può essere chiuso, aperto, semiaperto o illimitato. La curva si può scrivere come funzione vettoriale nel seguente modo: Inoltre, ci si riferisce a: Come al sostegno della curva.

Tip

Due curve con stesso sostegno sono dette equivalenti.

Diciamo che con è:

Chiusa se
Semplice se ristretta all'intervallo aperto è iniettiva

è continua in se e solo se sono continue in .

Tip

Un insieme si dice connesso per archi se esiste una curva continua con sostegno contenuto in e con estremi e .

Limiti di curve

Note

Sia una curva su un intervallo , allora:

È possibile estendere alle curve le proprietà dei limiti di funzioni in una variabile (unicità del limite, algebra dei limiti, ...).

Curve regolari

Note

Sia una curva definita su un intervallo aperto . Diciamo che è regolare se:

Oppure, Sia per e sia una curva. Diciamo che è regolare se è regolare.

Derivate di vettori

Curve regolari a tratti

Diciamo che una curva è regolare a tratti se:

ad eccezione di un numero finito di punti la curvatura è regolare.

Versore tangente

Note

Sia una curva regolare. Chiamiamo versore tangente a (o al sostegno di ) il vettore definito da:

Lunghezza

Note

Sia una curva regolare su un intervallo con sostegno . Si dica lunghezza di (o lunghezza della curva) il numero:

Lunghezza di una curva regolare a tratti

Sia un intervallo in con estremi con e sia una curvatura regolare a tratti con sostegno . Siano tali che è regolare in . Si dice lunghezza (del sostegno) della curva: