Un Sistema Differenziale Lineare (SDL) di ordine è un insieme di EDO lineari del primo ordine, ovvero Nella funzione incognita con: Con .
Se , allora il SDL è detto omogeneo, altrimenti non omogeneo o completo.
Espressione di un EDO del secondo ordine in un SDL
Espressione di EDO del secondo ordine in un SDL
Sia una generica EDO del secondo ordine lineare a coefficienti costanti: Con e . Siano e e otteniamo: O in forma matriciale: Con:
Tip
È possibile trasformare una qualunque EDO lineare di ordine come un sistema di EDO lineari del primo ordine.
Problema di Cauchy Associato
Note
Dato un SDL: Con e e dati e , si chiama problema di Cauchy associato al SDL il sistema:
Teorema di esistenza e unicità globale per problemi di Cauchy per SDL
Se e sono funzioni continue, allora il problema di Cauchy: Ammette un'unica soluzione definita su tutto . Inoltre, se , allora l'unica soluzione costante è la soluzione in .
Tip
Se e nel problema di Cauchy, allora l'unica soluzione è . Nel caso in cui , e , allora si può prendere .
Principio di sovrapposizione
Note
Sia e continue. L'operatore definito da: È lineare e quindi se e , allora
Tip
Se e sono soluzioni dello stesso SDL omogeneo, allora una qualunque combinazione lineare ne è anche soluzione.