Sistemi differenziali lineari omogenei

Note

Un SDL omogeneo è un sistema differenziale lineare definito come:

Integrale generale

Note

Sia continua. L'integrale generale di È uno spazio vettoriale di dimensione , cioè si può scrivere come: Con , dove sono soluzioni linearmente indipendenti.
In particolare sono una base dello spazio delle soluzioni e vengono chiamate Sistema Fondamentale di Soluzioni (SFS).

Risoluzione esplicita con

Per trovare soluzioni esplicitamente trattiamo due casi:

  1. Con diagonalizzabile
  2. Con con due autovalori complessi e coniugati.
Caso 1

Data diagonalizzabile, un SFS per per è Dove sono autovettori relativi agli autovalori . Quindi l'integrale generale è:

Caso 2

Sia aventi autovalori complessi e coniugati con . Sia un autovettore associato a . Abbiamo che un SFS per il SDL omogeneo è dato da: cioè l'integrale generale è:

Richiamo di algebra lineare

Data è diagonalizzabile in se è simile ad una matrice diagonale del tipo: Con con , cioè se esiste una matrice invertibile tale che . In genere è la matrice di autovalori di e è la matrice con i corrispondenti autovettori come colonne.

Possiamo indicare l'integrale generale di un SDL omogeneo in entrambi i casi visti in forma compatta utilizzando la nozione di matrice esponenziale.

Matrice Esponenziale

Sia . La matrice esponenziale è definita da:

Note

SIA diagonalizzabile con autovalori reali o complessi (siccome ha coefficienti reali, allora se ci sono autovalori complessi, sono presenti in coppie coniugate). Abbiamo che le colonne della matrice formano un SFS per il SDL omogeneo Ovvero l'integrale generale del SDL può essere scritto in forma compatta (matriciale) come: con .

Matrice Wroskiana

Note

Date soluzioni , con , chiamiamo matrice Wroskiana la matrice costruita affiancando i vettori colonna , cioè: E si definisce determinante Wroskiano il suo determinante.

Tip

Data una matrice abbiamo che:
Quindi per verificare che soluzioni sono linearmente indipendenti, verifichiamo:

Determinante Wroskiano

Date soluzioni con di Se tale che , dove è la matrice Wroskiana associata a , con , allora le funzioni , formano un SFS e l'integrale generale del SDL si può scrivere nella forma: Dove è il vettore costante generico.
Inoltre la soluzione del problema di Cauchy associato con la condizione per è: