Serie di potenze reali

Note

Una serie di potenze reali è una serie di funzioni della forma: Con che viene chiamato coefficiente -esimo della serie e che viene chiamato centro della serie.

Tip

Tutte le serie di potenze convergono puntualmente per .

Teorema del raggio di convergenza di una serie di potenze

Note

Data una serie di potenze: Si verifica sempre una delle seguenti 3 opzioni:

  • La serie converge solo per , e in questo caso diciamo che il raggio di convergenza della serie è nullo
  • La serie converge assolutamente su tutto e in questo caso diciamo che il raggio di convergenza della serie è infinito.
  • detto raggio di convergenza tale che la serie converge assolutamente tale che , e non converge per con .
Tip

L'insieme di convergenza è sempre un intervallo simmetrico rispetto al centro con raggio in (a meno degli estremo dell'intervallo). Nel terzo caso bisogna controllare se c'è convergenza per punti .

Teorema del calcolo del raggio di convergenza

Note

Data la serie di potenze: Abbiamo che se uno dei seguenti limiti esiste:

Con , allora la serie ha raggio di convergenza .

Tip

Attenzione che i criteri del rapporto e della radice per serie numeriche , che dipendono da: sono legati a . Se esistono entrambi i limiti, allora coincideranno. Dal teorema precedente deduciamo che per la convergenza è assoluta, e per la serie non converge, mentre per bisogna controllare sia la convergenza puntuale che la convergenza assoluta.

Dimostrazione

È sufficiente verificare che la serie converga per o non converga per .

Primo caso:

Osserviamo che : E quindi le condizioni menzionate precedentemente sono conseguenza del criterio della radice per la serie numerica .

Secondo caso:

Osserviamo che tutte le serie di potenze convergono per e che per abbiamo: E quindi le condizioni menzionate precedentemente sono conseguenza diretta del criterio del rapporto per la serie numerica .

Convergenza della serie

Note

Data una serie di potenze: Avente raggio di convergenza , si ha:

  • Se la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso
  • Se la serie converge totalmente in ogni intervallo chiuso per ogni

Proprietà della funzione somma

Continuità della somma

Sia un intervallo e siano funzioni continue in . Se la serie di funzioni converge totalmente in , allora la somma della serie è una funzione continua in . In particolare, se le sono continue in tutto , anche è continua in .

Questa proprietà è una delle motivazioni per l'introduzione della convergenza totale.

Tip

Data una serie di potenze avente raggio di convergenza si ha che la somma è una funzione continua in .

Derivabilità della somma

Sia un intervallo aperto e siano funzioni derivabili in . Se La serie converge puntualmente e la serie converge totalmente in allora la funzione somma è derivabile in e .

Tip

Data una serie di potenze avente raggio di convergenza si ha che la somma è derivabile in e . Inoltre la serie derivata è anch'essa una serie di potenze con centro con lo stesso raggio di convergenza, e quindi iterando il procedimento è derivabile volte in .

Integrabilità termine a termine

Siano con e siano funzioni continue in . Se converge totalmente in , allora la somma è una funzione integrabile e: Possiamo scambiare il segno di integrazione con la sommatoria sotto tali condizioni.

Tip

Data una serie di potenze avente raggio di convergenza si ha che la somma è soddisfa i seguenti assetti:

  • ammette primitiva in che può essere calcolata "termine a termine", è una serie di potenze centrata in e con raggio di convergenza :
  • con la funzione è integrabile su e:

Serie di Taylor

Note

Data una funzione derivabile volte in , si dice polinomio di Taylor di grado in il polinomio definito da: Inoltre abbiamo che: In caso la funzione sia derivabile volte, allora compreso tra e tale che:

Se la funzione è derivabile volte in . Si chiama serie di Taylor con centro della funzione la serie di potenze definita da: Dove i coefficiente sono detti coefficienti di Taylor, e se la serie viene detta serie di McLaurin.

Tip

Osserviamo che per la serie converge a .

Sia derivabile volte in . Si dice che è una funzione analitica in (o anche sviluppabile in serie di Taylor centrata in ) se la serie di Taylor con centro e raggio di convergenza esiste tale che: Per ogni .

Serie di potenze in

Note

Una serie di potenze in è una serie di funzioni della forma: Con chiamati coefficienti della serie, chiamato centro della serie e è la variabile della serie.

Osserviamo che le nozioni di convergenza puntuale, assoluta e totale si trasportano direttamente dal caso reale alle serie di potenze complesse con la stessa definizione.

Raggio di convergenza per serie di potenze in

Data una serie di potenze in si verifica sempre una delle seguenti tre opzioni:

  • La serie converge solo per (raggio di convergenza nullo)
  • La serie converge assolutamente (raggio di convergenza infinito)
  • Esiste detto raggio di convergenza tale che la serie converge assolutamente tale che , e non converge tale che .

Siccome è isomorfo a , possiamo rappresentare ogni numero complesso su un piano e l'intorno di convergenza per una serie di potenze con centro e raggio è la palla: Come nel caso reale bisogna studiare separatamente la convergenza sul bordo dell'intorno di convergenza, che è: Per calcolare il raggio di convergenza rimane valido il teorema relativo del caso reale.

Formula di Eulero

La serie esponenziale in è: Con la stessa verifica effettuata nel caso reale otteniamo che il raggio di convergenza è . Anche analogamente al caso reale, si verifica che: Questo ci permette di ricavare la formula di Eulero: Quindi: