Serie di funzioni

Note

Dato un intervallo , siano funzioni per ogni (oppure ). La serie di funzioni di termine generale è la successione delle somme parziali definita da:

Tip

Fissato un punto , si ha che la serie di termine generale è una serie numerica. Abbiamo quindi serie numeriche, una per ogni .

Convergenza semplice

Note

Diciamo che la serie di funzioni di termine generale , , converge puntualmente (o semplicemente) nel punto se la serie numerica di termine generale è convergente, cioè se esiste finito il limite:

L'insieme dei punti in cui la serie converge puntualmente è detto insieme di convergenza puntuale (o semplice) della serie. Nell'insieme risulta definita la somma della serie, cioè:

Tip

Una serie di funzioni può essere convergente per alcuni e divergente per altri , o anche indeterminata.

Si usa indicare con sia la somma che la serie, però si intende comunque che:

  • La serie di funzioni è la successione delle somme parziali
  • La somma della serie è una funzione con dominio l'insieme di convergenza

In alternativa si potrebbe indicare la somma come:

Convergenza assoluta

Note

La serie di funzioni di termine generale , converge assolutamente nel punto se la serie di termine generale è convergente puntualmente in .

Tip

Se la serie converge assolutamente in , allora converge puntualmente in , in quanto

Per convenzione assumiamo che .

Convergenza totale

Note

La serie di termine generale , converge totalmente in un intervallo se esiste una successione numerica tale che:

  • La serie numerica con termine generale , cioè , è convergente.
Tip

Se , allora può essere , cioè la convergenza totale dipende dall'intervallo , converge totalmente in i se e solo se: