Serie di funzioni trigonometriche

Note

Denotiamo come polinomio trigonometrico di ordine una funzione periodica di periodo del tipo: che vengono chiamati coefficienti del polinomio trigonometrico, definito . In particolare i polinomi trigonometrici con e tutti gli altri coefficienti nulli, tranne uno uguale a . Cioè e , sono dette armoniche -esime.

Ogni armonica -esima è periodica di periodo e quindi è periodica di periodo .
Inoltre le armoniche sono tutte funzioni dispari, e le armoniche sono tutte funzioni pari.

La somma, differenza e prodotto di due polinomi trigonometrici è ancora un polinomio trigonometrico. Abbiamo delle formule di ortogonalità delle armoniche -esime: L'integrale del prodotto di due armoniche diverse è sempre nullo, mentre l'integrale del quadrato di una di queste è (osserviamo che il caso è eccezione, infatti otteniamo ).

Serie trigonometriche

Note

Si definisce serie trigonometrica l'espressione Dove sono assegnati e .

Tip

Diciamo che una funzione è periodica di periodo se abbiamo che: La proprietà di periodicità non implica alcuna regolarità. Stiamo quindi includendo anche funzioni discontinue.

In generale ci soffermeremo su funzioni -periodiche.

Coefficienti di Fourier

Note

Data -periodica, definiamo i coefficienti di Fourier relativi a come i seguenti coefficienti: , quando gli integrali sono ben definiti ed esistono finiti.

Calcolo dei coefficienti di Fourier

Se una funzione -periodica è somma di una serie trigonometrica, cioè: Con , con convergenza totale su , allora abbiamo che necessariamente sono i coefficienti di Fourier di .

Dimostrazione

Assumiamo che tale che: Con convergenza totale su .

Iniziamo con e calcoliamo: E quindi .
Proseguiamo con il calcolo degli :

E quindi .

Si procede analogamente per i coefficienti .

Serie di Fourier

Note

Data una funzione -periodica chiamiamo polinomio di Fourier di ordine associato a il seguente polinomio trigonometrico: Con definiti come coefficienti di Fourier, mentre chiamiamo serie di Fourier di il limite (quando esiste):

Teorema di convergenza di una serie trigonometrica a partire dai coefficienti

Note

Data una serie trigonometrica: Con abbiamo che:

  • Se la serie numerica di termine generale (considerata per indici ) è convergente, allora la serie trigonometrica converge totalmente in . Inoltre la somma è continua ed è possibile integrare termine a termine (su intervalli limitati), cioè:
  • Se la serie numerica di termine generale (considerata per indici ) è convergente, allora la somma della serie trigonometrica è derivabile, e la derivata è data dalla serie delle derivate (derivazione termine a termine), cioè:

La condizione nel secondo caso è più forte della condizione nel primo caso. Inoltre c'è una differenza rispetto a quanto visto per le serie di potenze, che sono integrabili e derivabili volte senza richiedere ulteriori condizioni aggiuntive.

Siccome la derivata è ancora una serie trigonometrica, possiamo iterare il teorema:

  • se è convergente, allora la somma della serie trigonometrica è derivabile 2 volte con derivata seconda calcolata termine a termine.
  • Genericamente, se è convergente con , allora la somma della serie trigonometrica è derivabile volte.

Teorema di convergenza puntuale delle serie di Fourier

Note

Sia -periodica e regolare a tratti in . Allora la serie di Fourier converge puntualmente in tutto .
In particolare, sia il polinomio di Fourier di ordine associato a , allora: E quindi, se è continua in , allora:

Funzioni regolare a tratti

Sia . Diciamo che è regolare a tratti in se esiste un numero finito di punti , cioè una partizione dell'intervallo tale che:

  • è continua in ed esistano finiti i limiti:
  • è derivabile in ed esistano finiti i limiti:

Teorema di convergenza totale della serie di Fourier e integrabilità

Note

Sia -periodica e regolare a tratti in . Se è continua in , allora la serie di Fourier di converge totalmente a in tutto e vale la formula di integrabilità termine a termine negli intervalli limitati.

Derivabilità della serie di Fourier

Note

Sia -periodica e tale che:

  • sia derivabile su
  • è regolare a tratti in
  • continua

Allora la serie di Fourier di è derivabile su termine a termine.

Convergenza in media

Note

Data una funzione -periodica si dice che la serie di Fourier associata a converge in norma (o in media) quadratica a se: Dove è il polinomio di Fourier di ordine .

Identità di Bessel-Parseval

Note

Sia -periodica e regolare a tratti in . Abbiamo che se i seguenti asserti sono verificati:

  • La serie di Fourier di converge sempre in norma quadratica.
  • Se indichiamo con i coefficienti di Fourier di , allora vale la seguente identità detta identità di Bessel-Parseval: