Ottimizzazione vincolata

Note

Sia aperto e . Sia l'insieme di livello di , cioè , o esplicitamente: Che viene chiamato vincolo dell'ottimizzazione. Dato abbiamo che:

  • è un punto di massimo (rispettivamente di minimo) locale o relativo di vincolato a se tale che: e si dice massimo (rispettivamente minimo) locale o relativo di vincolato a .
  • è un punto di massimo (rispettivamente di minimo) assoluto o globale di se: e si dice massimo (rispettivamente minimo) assoluto o globale di vincolato a .
  • è un punto esternale o di estremo relativo vincolato a se è punto di massimo o minimo locale vincolato a .

SI parla di ottimizzazione vincolata di con vincolo per indicare la ricerca dei punti esternali di vincolati a .

Metodo per sostituzione

Note
  1. Considerare la funzione di una variabile ottenuta "restringendo a "
    1. Esprimere il vincolo come curva dipendente da una delle coordinate: e
    2. Definiamo o
  2. Studio la funzione come funzione in una variabile nel suo dominio e trovo i suoi punti estremali.
  3. Consideriamo tutti i punti dove è stato trovato al passo precedente (è equivalente se avessimo esplicitato con ) e valutiamo l'immagine di in tali punti.

Teorema dei moltiplicatori di Lagrange

Note

Sia aperto e siano . Inoltre, sia un punto di estremo di vincolato al vincolo . Se , allora esiste , detto moltiplicatore di Lagrange, tale che:

Tip

Il teorema ci fornisce una condizione necessaria per un punto ad essere punto estremale vincolato, cioè Inoltre, possiamo riscrivere la condizione necessaria insieme al fatto che è sul vincolo come un sistema non lineare nelle tre incognite : In particolare, questo sistema lineare viene spesso riscritto in forma compatta come: Dove è una funzione in variabili detta Lagrangiana definita da:

Vincoli con disuguaglianza

Note

Sia definita continua su con insieme chiuso e limitato.

  1. Osserviamo che siccome è continua e è chiuso e limitato esistono i punti di massimo e minimo assoluti di in (teorema di Weierstrass)
  2. Escludo per il momento il bordo di e considero . Usando il teorema di Fermat applico quanto detto per l'ottimizzazione libera, cioè:
    • Cerco i punti critici con di in e eventualmente applico il criterio dell'Hessiana per classificarli.
    • Se non è derivabile ovunque, identifico anche i punti di non derivabilità di , che indico con con
  3. Cerco i punti sul bordo di come punti estremali di vincolati al vincolo utilizzando le strategie dell'ottimizzazione vincolata e trovo i punti con
  4. Confronto i valori delle immagini di tutti i punti trovati nei passi precedenti: E ci ricordiamo di scrivere i punti dove raggiunge il massimo e il minimo come punti di massimo e minimo, rispettivamente.