Ottimizzazione per funzioni a due variabili

Sia aperto e sia derivabile in . Osserviamo che è un punto critico se:

• Il piano tangente è orizzontale, in quanto è dato da:
• La formula di Taylor al secondo ordine diventa:

Sia aperto e sia derivabile in . Diciamo che è un punto critico o stazionario di se:

Sia e sia . Un punto in si dice:

• Punto di massimo (o di minimo) locale o relativo di se tale che: e si dice massimo (o minimo) locale o relativo di .
• Punto di massimo (o di minimo) assoluto o globale se: e si dice massimo (o minimo) assoluto o globale di .

Il valore del massimo (o minimo) assoluto di è unico, se esiste, mentre i punti di massimo (o minimo) assoluto possono essere molti.

Se è un punto di massimo o minimo locale, allora è detto punto estremante o punto di estremo relativo di . Inoltre, se è un punto critico di che non è estremante allora si dice punto di sella di .

Sia un insieme chiuso e limitato e sia una funzione continua. Allora ammette massimo e minimo assoluti in , cioè tali che: E quindi ne segue che è limitata.

Sia un insieme connesso per archi in e sia continua. Se e per due punti e in , allora tale che .