Ottimizzazione libera

Sia un insieme aperto e sia derivabile in . Se è un punto estremale relativo di , allora: Cioè è un punto critico di .

Siano aperto, e punto critico di . sia la forma quadratica indotta dalla matrice Hessiana . Abbiamo che:

• Se è definita positiva, allora è punto di minimo locale.
• Se è definita negativa, allora è punto di massimo locale.
• Se è indefinita, allora è punto di sella.

Verifichiamo il primo caso (il secondo è analogo).
La matrice Hessiana è:

• Simmetrica: grazie al teorema di Schwarz siccome .
• Ha tutti gli autovalori reali e positivi, siccome è definita positiva.

Ne deduciamo che: Dove è il minimo degli autovalori di . Inoltre, dato che è punto critico di , dalla formula di Taylor al secondo ordine otteniamo che: Per , dove nella disuguaglianza abbiamo applicato la formula precedente. Per la definizione di o piccolo abbiamo che: E quindi tale che se e , allora: Dove grazie alla seconda ipotesi. Quindi in particolare tale che abbiamo che: Pertanto dalle formule precedenti possiamo concludere che tale che , che implica che è punto di minimo locale di .

Siano aperto, e punto critico di . Sia la matrice Hessiana di nel punto . Abbiamo che:

• Se e , allora è un punto di minimo locale di .
• Se e , allora è un punto di massimo locale di .
• Se , allora è punto di sella di .
• Se il criterio non fornisce informazioni, possiamo usare l'indagine diretta o il controllo per convessità/concavità.

Inoltre, se , ma , valgono gli stessi assetti con al posto .

Questa strategia consiste nel trovare due curve passanti per il punto critico su cui le restrizioni di hanno in un caso un massimo e nell'altro un minimo, in maniera tale da concludere che il punto critico è u punto di sella.

Sia . Diciamo che è convessa (rispettivamente concava) se la matrice Hessiana è definita positiva o semi-definita positiva (rispettivamente definita negativa o semi-definita negativa).

Sia e un punto critico di , abbiamo che:

• Se è convessa su , allora è un punto di minimo assoluto
• Se è concava su , allora è un punto di massimo assoluto