Siano un insieme aperto, e una funzione a valori reali definita su (con al più il punto mancante). Diciamo che tende al limite per che tende a e scriviamo: Se e solo se per ogni esiste tale che per ogni .
Teorema per le maggiorazioni con funzioni radiali
Note
Sia con aperto, e sia una funzione a valori reali definita su e sia . Se tale che per e: Per ogni , allora:
Metodo delle coordinate polari
Note
Sia , per valutare il limite , dove :
Cerchiamo il candidato limite utilizzando i percorsi particolari (se troviamo candidati diversi concludiamo che il limite non esiste per l'unicità del limite).
Scriviamo in coordinate polari:
Troviamo del teorema maggiorando :
Verifichiamo che .
Deduciamo quindi il limite.
Se , allora bisogna applicare i passaggi alla funzione .
Limite ad infinito
Note
Sia . Si dice limite di per è (rispettivamente ) se tale che (rispettivamente ) con .
Continuità
Note
Sia con aperto e . Diciamo che è continua in se: Inoltre, è continua in se è continua in ogni punto .
Tip
Le funzioni elementari sono continue nel loro dominio di definizione. Se e sono continue, allora lo sono anche , , , se , se .