Integrale doppio

Un insieme si dice -semplice se è del tipo: Dove con e sono funzioni tali che:

• e sono continue

Abbiamo che:

Osserviamo che il volume tra e il grafico della funzione : Coincide con l'area di :

Un inseme si dice -semplice se è del tipo: Dove con e tali che:

• e sono continue

Abbiamo che:

Un insieme si dice regolare se è unione finita di insiemi -semplici e -semplici.

Siccome l'area di un insieme regolare è dato dalla somma delle aree dei suoi insiemi -semplici e -semplici possiamo definire:

Consideriamo una funzione limitata con per con e . Consideriamo una partizione di equiparziata, cioè con . In analogia, consideriamo una partizione di equiparziata, cioè con .
Definiamo . Scegliamo un punto e chiamiamo il parallelepipedo con base e altezza .
Abbiamo che il volume di ciascun è dato da: Diciamo che è integrabile su se: Finito e non dipende dalla scelta dei punti nei rettangolini .
In questo caso definiamo:

Sia un insieme regolare e sia una funzione continua in . Allora è integrabile in .

Sia un dominio -semplice, cioè: Per appropriati , e sia una funzione continua in . Allora abbiamo che: Analogamente, sia un dominio -semplice, cioè: Per appropriati , e sia continua in . Allora abbiamo che:

Sia il cambiamento di variabili un cambiamento che associa ogni punto nel piano alle sue coordinate polari: La sua matrice Jacobiana è definita come: E quindi .

Quindi ristretto a è un cambio di variabili con immagine: