Derivabilità di funzioni a più variabili

Sia aperto, , . Se è derivabile in , allora diciamo che il gradiente di in è: In generale, se è derivabile in , allora possiamo definire la funzione gradiente .

Sia aperto, , . Sia un vettore di norma unitaria. Diciamo che la derivata direzionale di in nella direzione individuata da è: Dove con , perché il limite esista finito.

Sia , , . Diciamo che è differenziabile in se tale che, ponendo e: Si ha che: O utilizzando la notazione o piccolo, e ponendo : Inoltre, possiamo verificare che tale vettore coincide con :

Sia aperto e sia differenziabile nel punto . Allora è continua in .

Dobbiamo dimostrare che . Siccome è differenziabile in , abbiamo che: E quindi: Dove abbiamo usato le disuguaglianze triangolare e di Cauchy-Schwarz. Prendendo il limite per otteniamo: E quindi concludiamo che:

Sia aperto, derivabile in . Diciamo che è di classe in , e scriviamo: Se tutte le derivate parziali di esistono e sono funzioni continue in .

Sia e sia . Allora è differenziabile in ogni punto di , cioè:

Sia aperto e sia differenziabile in . Allora per ogni con esiste la derivata dimensionale in lungo la direzione e inoltre:

Siccome è differenziabile in , abbiamo che: per e possiamo applicare tale equazione a per ogni abbastanza piccolo: Dove abbiamo utilizzato che . Quindi abbiamo che: E concludiamo grazie a definizione di derivata direzionale che:

Sia aperto e , . Assumiamo che:

• è differenziabile in

Allora per ogni con si ha che: E inoltre, detti: Abbiamo che:

Diretta conseguenza della formula del gradiente:

Sia un intervallo e aperto. Sia una curva regolare e una funzione differenziabile in . Detta la funzione composta definita per ogni come , abbiamo che è derivabile in e inoltre:

Possiamo vedere la derivata direzionale come la derivata di una funzione composta: sia aperto e differenziabile in , e con , allora: Dove . Infatti applicando la formula precedente a :

Consideriamo la funzione definita da: Se e sono derivabili, allora è derivabile e:

Sia aperto e sia differenziabile in . Supponiamo che l'insieme di livello di , cioè: Sia il sostegno di una curva regolare dove è un intervallo, abbiamo che:

Consideriamo la funzione definita da: Osserviamo che: E quindi . Abbiamo che è costante su e quindi: Per il teorema di derivazione delle funzioni composte 1-n-1 abbiamo che: Quindi dalle due formule otteniamo che: