EDO del primo ordine autonome

Note

Una EDO del primo ordine è autonoma se è nella forma: Dove è una funzione continua nell'insieme (cioè la EDO è in forma normale e a variabili separabili).

Tip

Se è soluzione di in un certo intervallo , allora anche È soluzione in .

Tip

Se è positiva (rispettivamente negativa) in un certo punto , allora una soluzione è passante per , cioè tale che con , sarà crescente (rispettivamente decrescente) in .

Punti di equilibrio

Note

Sia: Gli zeri della funzione si dicono punti di equilibrio.

Costruzione del diagramma di fase

Note

Partiamo dal grafico di :
Pasted image 20241216173848.png
E disegniamo il diagramma in questo modo:

  • Disegno una linea
  • Indichiamo i punti di equilibrio
  • Indichiamo con una freccia gli intervalli dove è positiva o negativa, rispettivamente.

Pasted image 20241216174026.png

Infine diciamo che un punto di equilibrio è:

  • stabile se entrambe le frecce puntano a
  • instabile in caso contrario

Esempio di studio qualitativo di un EDO autonoma

Note
  1. Verifichiamo che esiste unicamente e localmente soluzione per tutti i problemi di Cauchy associati alla EDO.
  2. Troviamo i punti di equilibrio.
  3. Verifichiamo la prolungabilità delle soluzioni
  4. Disegniamo il diagramma di fase e deduciamo la monotonia delle soluzioni e la stabilità dei punti di equilibrio.
  5. Studio del limite delle soluzioni agli estremi di definizione
  6. Studio convessità/concavità soluzioni