Equazioni differenziali ordinarie

Note

Un equazione differenziale ordinaria (EDO o ODE) di ordine è un equazione che ha come incognita una funzione che coinvolge la derivata -esima di e può coinvolgere le derivate -esime con , cioè si può scrivere nella forma: Dove è un intervallo in e è una funzione in variabili.

Inoltre sono dette soluzioni particolari della EDO in un intervallo ogni funzione , cioè continua con derivate continue fino all'ordine , che soddisfi la precedente equazione. L'insieme di tutte le soluzioni si dice integrale generale della EDO.

Tip

In generale le EDO hanno soluzioni per via della costante .

Tip

La soluzione di un'EDO dipende anche dall'intervallo di definizione (anch'esso è incognita). L'intervallo di definizione della funzione può essere più piccolo dell'intervallo della EDO.

Forma normale

Note

Un'EDO di ordine è in forma normale se è nella forma:
Cioè, è in forma normale se esplicitiamo la derivata di ordine massimo.

Problema di Cauchy

Note

Data un'EDO di ordine in forma normale, cioè: Per un dato intervallo , data una funzione con dominio : E dato un punto , si dice problema di Cauchy associato alla EDO il problema che consiste nel determinare una soluzione particolare: Della EDO per un intervallo , tale che e che soddisfi il sistema:

Tip

Nel problema di Cauchy servono tante condizioni quante costanti compaiono nell'integrale generale dell'EDO associata. Nel caso c'è una sola costante e quindi mi basta la condizione .

Risoluzione di un problema di Cauchy:

  1. Determinare l'integrale generale dell'EDO
  2. Sostituisco l'integrale generale nel sistema e determino le costanti presenti nell'integrale generale
  3. Sostituisco il valore delle costanti trovate al passo 2 nell'integrale generale del passo 1