Dal principio di sovrapposizione deduciamo che l'insieme di tutte le soluzioni è uno spazio vettoriale (perché è chiuso rispetto alla somma di soluzioni e al prodotto per uno scalare). Per dimostrare che la dimensione è dobbiamo:
- Determinare due soluzioni linearmente indipendenti e
- Verificare che ogni soluzione si possa scrivere come combinazione lineare di e
Per soddisfare la prima condizione, fissiamo e scegliamo e come soluzioni di due problemi di Cauchy, rispettivamente, come soluzione di: E come soluzione di: Tali soluzioni esistono grazie al teorema di esistenza e unicità globale per il problema di Cauchy. Verifichiamo adesso che e sono linearmente indipendenti assumendo per assurdo che tale che . Per la definizione di e abbiamo che: Che è una contraddizione.
Per soddisfare la seconda condizione, sia una qualunque soluzione particolare e cerchiamo costanti per cui coincida con la funzione: Che è soluzione per il principio di sovrapposizione per ogni . Scegliamo e in maniera tale che e , cioè poniamo: E otteniamo e . Quindi la combinazione lineare candidata a coincidere con è: Concludiamo osservando che sia che sono soluzioni dello stesso problema di Cauchy: E quindi per il teorema di esistenza e unicità globale del problema di Cauchy abbiamo che