Consideriamo un equazione differenziale della forma: Con . Per determinare l'integrale generale dell'equazione è necessario conoscere l'integrale generale dell'omogenea associata e la soluzione particolare:
Per trovare la soluzione particolare si usa il metodo di somiglianza, di cui adesso analizziamo i casi:
Forzante esponenziale
Note
Consideriamo il caso: Per trovare una soluzione particolare, si parte da una funzione: Derivandola e sostituendo nell'equazione troveremo un valore . Nel caso sia radice del polinomio caratteristico, usiamo come soluzione particolare: Se è radice doppia del polinomio caratteristico, usiamo come soluzione particolare:
Forzante polinomiale
Note
Consideriamo il caso in cui sia polinomiale di grado . Utilizziamo come soluzione particolare il più generale polinomio di grado : Derivando, sostituendo e applicando il principio di identità dei polinomi ricaviamo le costanti dal sistema lineare di equazioni e incognite. In caso non sia possibile applicare il principio di identità dei polinomi proviamo usare come soluzione il polinomio generale di grado .
Forzante trigonometrica
Note
Consideriamo il caso in cui sia trigonometrica. Utilizziamo come soluzione particolare: Derivando, sostituendo e applicando il principio di identità dei polinomi ricaviamo e . Se la forzante è soluzione dell'omogenea associata usiamo come soluzione particolare: