EDO del primo ordine

Soluzioni costanti

Note

Data un'EDO del primo ordine in forma normale: Per un certo intervallo , può esistere una soluzione costante dell'EDO del tipo:

Tip

Siccome , la derivata è , necessariamente

EDO del primo ordine a variabili separabili

Note

Un'EDO del primo ordine si dice a variabili separabili se è nella forma: Con e funzioni continue. Quando è in forma normale:

Processo risolutivo di un'EDO del primo ordine a variabili separabili:

  1. Cerchiamo soluzioni costanti dell'EDO, quindi imponiamo
  2. Cerchiamo le soluzioni non costanti della EDO:
    1. Dividiamo la EDO per :
    2. Cerchiamo la primitiva di entrambi i membri con il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale:
    3. Risolvo direttamente a destra e risolvo a sinistra dopo aver imposto il cambio di variabili :
    4. Trovo la formula esplicita per con appropriate condizioni sulle costanti di integrazione e sul dominio. Inoltre definiamo come i termini costanti.
  3. Scrivo l'integrale generale inserendo insieme le soluzioni trovate ai passi 1 e 2.
Tip

È anche possibile risolvere un'EDO del primo ordine a variabili separabili utilizzando la seconda parte del Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, quindi utilizzando un integrale definito con estremi di integrazione e .

Tip

I domini delle soluzioni sono diversi e possono essere strettamente inclusi nell'intervallo di definizione dell'EDO (anche se è definita ovunque)

Tip

I grafici delle soluzioni, pur riempendo tutto il dominio di non intersecano.

EDO del primo ordine lineari

Note

Un'EDO del primo ordine si dice a lineare se è nella forma: Con . Inoltre si dice omogenea se , altrimenti è detta completa. L'EDO lineari sono in forma normali se , allora l'EDO è anche a variabili separabili.

Tip

Le funzioni e possono anche non essere lineari.

Tip

Si intende come l'intervallo più grande su cui le funzioni e sono definite.

Formula risolutiva per le EDO del primo ordine lineari

Date continue in , l'integrale generale dell'EDO: È dato dalla formula: Con

Dimostrazione

Svolgiamo 3 passi:

  1. porto a sinistra il termine con la funzione a e moltiplico per : Quindi l'EDO del primo ordine lineare è equivalente a
  2. Applico il TFCI e trovo la primitiva su entrambi i membri dell'equazione:
  3. Moltiplico per entrambi i membri:
Tip

Le EDO del primo ordine lineari soddisfano il principio di sovrapposizione. Sia l'operatore: E osserviamo che è un operatore lineare, cioè: Se e sono soluzioni di EDO lineari con termine e , rispettivamente, allora la combinazione lineare è soluzione della EDO lineare con termine noto . Di conseguenza, se e sono soluzioni della EDO lineare omogenea, allora una qualunque combinazione lineare di e è anche soluzione di tale equazione.

Problema di Cauchy

Siano , continue, e . Abbiamo che esiste un unica soluzione definita su tutto per il problema di Cauchy: La soluzione quindi esiste sempre, è unica ed è definita su tutto .

Equazioni di Bernoulli

Note

Si chiamano equazioni di Bernoulli le EDO del primo ordine non lineari del tipo: Dove continue, e non costantemente nulla.

Tip

L'equazione di Bernoulli è in forma normale con

Processo risolutivo di un equazione di Bernoulli

  1. Ricerca delle soluzioni costanti:
    Se è soluzione costante
    Se e sono funzioni costanti, allora possiamo formalmente trovare le seguenti soluzioni, e poi controllare se sono ben definite:

    • Se le funzioni costanti non sono definite non sono da considerare tra le soluzioni
  2. Ricerca delle soluzioni non costanti:
    2.1: divido la EDO per e integro entrambi gli estremi: 2.2: poniamo così da ottenere: Che è una EDO lineare con e
    2.3: risolviamo la EDO lineare trovata in utilizzando la formula del teorema
    2.4: ricavo
  3. Scrivo l'integrale generale inserendo insieme le soluzioni trovate ai passi 1 e 2.