Principio di induzione

Note

Il principio di induzione è un metodo dimostrativo che si basa sulle proprietà dell'insieme dei numeri naturali, in particolare il fatto che abbia un numero iniziale che è lo zero e tutti i numeri hanno un successivo .

Teorema

Sia un numero naturale e per ogni maggiore o uguale a sia un predicato (cioè una formula), se è vera e è vera, allora si può affermare che è vera per ogni numero naturale:

Dimostrazioni per induzione

Somma di Gauss

Dimostrazione

Sia :
Verifichiamo che :

Somme geometriche

Siano e :

Dimostrazione

Sia :
Verifichiamo che :

Disuguaglianza di Bernoulli

Dimostrazione

Sia :
Verifichiamo che :

è
Binomio di Newton

Siano e , allora:

Dimostrazione

Sia :
Verifichiamo che