Teoremi delle serie

Teorema del confronto integrale

Note

Data , e la serie dove , allora: $è$

Criterio della radice

Note

Sia e supponiamo che: Allora:

Se la serie converge.
Se la serie diverge.
Se non si deduce niente.

Dimostrazione

Da segue che: Cioè: Scegliendo e elevando alla :

Caso 1

Se allora : E quindi per il teorema del confronto anche converge.

Caso 2

Se allora : E quindi per il teorema del confronto anche diverge.

Criterio del rapporto

Note

Sia e supponiamo che: Allora:

Se la serie converge
Se la serie diverge
Se non si deduce niente.

Dimostrazione

Da segue che: Cioè: Scegliendo e moltiplicando per :

Caso 1

Se allora : E quindi per il teorema del confronto anche converge.

Caso 2

Se allora : E quindi per il teorema del confronto anche diverge.

Teorema della convergenza assoluta

Note

La serie è assolutamente convergente se la serie converge.
Se converge assolutamente, allora converge semplicemente:

Dimostrazione

Consideriamo le somme parziali: Sappiamo che . Poiché per ipotesi la serie converge assolutamente, ciò vuol dire che la serie dei moduli converge, cioè: Di conseguenza le successioni sono superiormente limitate. Abbiamo quindi che: Ma poiché le successioni sono anche monotone crescenti (poiché a termini positivo), per il teorema di convergenza delle successioni monotone crescenti e superiormente limitate: Quindi: E quindi la serie converge semplicemente.

Criterio di Leibniz per la convergenza di serie con termini di segno alterno

Note

Se la serie soddisfa le seguenti ipotesi:

La serie ha termini di segno alterno:
È soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza:
La successione sia monotona decrescente

Allora converge semplicemente. In più il resto della serie: È stimato da .

Dimostrazione

Analizziamo le somme parziali pari: Analizziamo adesso le somme parziali dispari: In più abbiamo che: Che implica: Cioè è decrescete e inferiormente limitata, mentre è crescente e superiormente limitata.
Per il teorema della convergenza di successioni monotone limitate: Ed anche . Ma poiché
Si ha quindi: Definendo si ha: Cioè: Cioè la serie converge.