Serie numeriche

Note

Sia data una successione , definiamo la successione delle somme parziali:

Notiamo come la somma delle serie coincide con l'integrale se la serie è definitivamente positiva:

Carattere della serie

  • Se la successione ammette limite finito, si dice che la serie definita dai converge.
  • Se la successione converge a , si dice che la serie definita dai diverge.
  • Se la successione non ammette limite, si dice che la serie è indeterminata.
Osservazione sul carattere delle serie

Il carattere di una serie non viene alterato se si trascurano un numero finito di termini, ovvero la serie ha lo stesso carattere di .

Proprietà delle serie

  1. Linearità Se anche una delle due serie non converge allora la somma delle due serie non convergerà.

  2. Confronto
    Se allora:

  • Se converge, anche converge:
  • Se diverge a , allora anche la serie diverge a , poiché le somme parziali sono sempre maggiori.
  1. Confronto asintotico
    Sia , allora:
Dimostrazione

Siccome :
Si conclude la dimostrazione per il criterio del confronto.

  1. Condizione necessaria per la convergenza
    La condizione necessaria affinché la serie converga è: Quindi

Serie particolari

Serie geometrica

Sia un numero reale. Si dice serie geometrica di ragione la serie Se , la serie geometrica converge ed ha per somma
Se , la serie geometrica è irregolare
Se , la serie geometrica diverge positivamente

Serie armonica generalizzata

Sia un numero reale. Si dice serie armonica generalizzata la serie Se converge
Se diverge positivamente

Serie armonica a segni alterni

Sia un numero reale positivo. Si dice serie armonica a segno alterno la serie Se converge assolutamente
Se converge semplicemente

Serie armonica modificata

Sia un qualsiasi numero reale. Si dice serie armonica modificata la serie Se e , converge
Se e converge
Se e diverge positivamente
Se diverge positivamente