Analisi matematica 1

Teoremi delle serie

3 minuti

Teorema del confronto integrale

Note

Data , e la serie dove , allora:

è

Criterio della radice

Note

Sia e supponiamo che:

Allora:

  1. Se la serie converge.
  2. Se la serie diverge.
  3. Se non si deduce niente.

Dimostrazione

Da segue che:

Cioè:

Scegliendo e elevando alla :

Caso 1

Se allora :

E quindi per il teorema del confronto anche converge.

Caso 2

Se allora :

E quindi per il teorema del confronto anche diverge.

Criterio del rapporto

Note

Sia e supponiamo che:

Allora:

  1. Se la serie converge
  2. Se la serie diverge
  3. Se non si deduce niente.

Dimostrazione

Da segue che:

Cioè:

Scegliendo e moltiplicando per :

Caso 1

Se allora :

E quindi per il teorema del confronto anche converge.

Caso 2

Se allora :

E quindi per il teorema del confronto anche diverge.

Teorema della convergenza assoluta

Note

La serie è assolutamente convergente se la serie converge. Se converge assolutamente, allora converge semplicemente:

Dimostrazione

Consideriamo le somme parziali:

Sappiamo che . Poiché per ipotesi la serie converge assolutamente, ciò vuol dire che la serie dei moduli converge, cioè:

Di conseguenza le successioni sono superiormente limitate. Abbiamo quindi che:

Ma poiché le successioni sono anche monotone crescenti (poiché a termini positivo), per il teorema di convergenza delle successioni monotone crescenti e superiormente limitate:

Quindi:

E quindi la serie converge semplicemente.

Criterio di Leibniz per la convergenza di serie con termini di segno alterno

Note

Se la serie soddisfa le seguenti ipotesi:

  • La serie ha termini di segno alterno:
  • È soddisfatta la condizione necessaria per la convergenza:
  • La successione sia monotona decrescente

Allora converge semplicemente. In più il resto della serie:

È stimato da .

Dimostrazione

Analizziamo le somme parziali pari:

Analizziamo adesso le somme parziali dispari:

In più abbiamo che:

Che implica:

Cioè è decrescete e inferiormente limitata, mentre è crescente e superiormente limitata. Per il teorema della convergenza di successioni monotone limitate:

Ed anche . Ma poiché Si ha quindi:

Definendo si ha:

Cioè:

Cioè la serie converge.