Analisi matematica 1

Serie numeriche

3 minuti

Note

Sia data una successione , definiamo la successione delle somme parziali:

Notiamo come la somma delle serie coincide con l’integrale se la serie è definitivamente positiva:

Carattere della serie

  • Se la successione ammette limite finito, si dice che la serie definita dai converge.
  • Se la successione converge a , si dice che la serie definita dai diverge.
  • Se la successione non ammette limite, si dice che la serie è indeterminata.

Osservazione sul carattere delle serie

Il carattere di una serie non viene alterato se si trascurano un numero finito di termini, ovvero la serie ha lo stesso carattere di .

Proprietà delle serie

  1. Linearità

Se anche una delle due serie non converge allora la somma delle due serie non convergerà.

  1. Confronto Se allora:
  • Se converge, anche converge:
ééè 
\lim_{n}a_{n}=0
$$

Quindi

You can't use 'macro parameter character #' in math mode \lim_{n}a_{n}\neq0\iff \sum\limits_{n}a_{n} \text{ non converge } $$ ### Serie particolari >[!note] Serie geometrica > >Sia $q$ un numero reale. Si dice serie geometrica di ragione $q$ la serie >$$ >\sum\limits^{+\infty}_{n=0}q^{n} >$$ >Se $|q|<1$, la serie geometrica converge ed ha per somma $\frac{1}{1-q}$ >Se $q\leq-1$, la serie geometrica è irregolare >Se $q\geq1$, la serie geometrica diverge positivamente >[!note] Serie armonica generalizzata > >Sia $\alpha$ un numero reale. Si dice serie armonica generalizzata la serie >$$ >\sum\limits^{+\infty}_{n=0} \frac{1}{n^{\alpha}} >$$ >Se $\alpha>1$ converge >Se $\alpha\leq 1$ diverge positivamente >[!note] Serie armonica a segni alterni > >Sia $\alpha$ un numero reale positivo. Si dice serie armonica a segno alterno la serie >$$ >\sum\limits^{+\infty}_{n=1} (-1)^{n}\frac{1}{n^{\alpha}} >$$ >Se $\alpha>1$ converge assolutamente >Se $0<\alpha\leq1$ converge semplicemente >[!note] Serie armonica modificata > >Sia $\alpha$ un qualsiasi numero reale. Si dice serie armonica modificata la serie >$$ >\sum\limits^{+\infty}_{n=2}\frac{1}{n^{\alpha}(\log(n))^{\beta}} >$$ >Se $\alpha>1$ e $\forall\beta$, converge >Se $\alpha=1$ e $\beta>1$ converge >Se $\alpha=1$ e $\beta\leq1$ diverge positivamente >Se $\alpha<1$ diverge positivamente