Teoremi per la completezza dei numeri reali

Sia una successione monotona crescente, cioè: superiormente limitate: Allora la successione è convergente in :

Per il teorema di completezza di è sufficiente provare che la successione è di Cauchy, cioè: Ragionando per assurdo, supponiamo che non sia di Cauchy: Possiamo sempre pensare che così per la monotonia e , cioè: Per Quindi possiamo dire che Di conseguenza, non è superiormente limitata, contraddicendo una delle ipotesi.

Dato un insieme , un numero è detto estremo superiore di se è il minimo dei maggioranti di .
èAnalogamente, un numero è detto estremo inferiore di se è il massimo dei maggioranti di .
è

L'estremo superiore si indica con , mentre l'estremo inferiore si indica con .
Se gli estremi appartengono all'insieme ( o ) allora sono detti massimo o minimo e si indicano con e .

Se è superiormente limitato, allora esiste

Poiché è superiormente limitato, esiste maggiorante di : Sia un elemento fissato di in modo che: Sia il punto medio di e consideriamo i due sub-intervalli e . Evidentemente in almeno uno dei due sub-intervalli vi sono elementi di . Ne scegliamo uno dei due, denotandolo con , optando per quello di destra se entrambe le metà contengono elementi di . Evidentemente abbiamo che: Inoltre abbiamo che, è maggiorante di : Iterando questo procedimento (detto dicotomia) otteniamo una successione crescente di intervalli: Tali che per ogni si ha che è maggiorante di :
E che per ogni si ha che: Definiamo le successioni crescente e superiormente limitata da , e la successione decrescente e inferiormente limitata da : Per il teorema della convergenza di successioni monotone limitate in , entrambe le successioni convergono. Inoltre Poiché: Per le proprietà del limite, esiste un limite comune delle due successioni: Mostriamo ora che . Infatti, per la proprietà di monotonia del limite, passando al limite: E quindi è un maggiorante di .

Se per assurdo, non fosse , esisterebbe per il quale sarebbe un maggiorante di , strettamente minore di : Ma poiché , esisterebbe un per cui . Ciò contraddirebbe il fatto che, per costruzione .

Dato un insieme , un punto è detto di accumulazione per se: L'insieme dei punti di accumulazione di è detto insieme derivato di e si denota con .

Sia un insieme limitato e infinito. L'insieme dei punti di accumulazione di è allora non vuoto:

Poiché è limitato, esiste un intervallo limitato che lo contiene. Sia il punto medio di . Evidentemente almeno uno dei due sub-intervalli e contiene infiniti punti di .
Ne scegliamo uno e lo denotiamo con . Avremo che: Iterando questo procedimento (detto dicotomia) otteniamo una successione decrescente di intervalli: Tale che per ogni si ha che: Definiamo le successioni crescente e superiormente limitata da , e la successione decrescente e inferiormente limitata da : Per il teorema della convergenza di successioni monotone limitate in , entrambe le successioni convergono. Inoltre Poiché: Per le proprietà del limite, esiste un limite comune delle due successioni: Scegliendo con (ciò si può fare poiché in vi sono infiniti punti ed al più uno solo di essi può coincidere con ), otteniamo una successione tale che: Per la proprietà di monotonia del limite delle successioni, abbiamo che: Così e l'insieme derivato risulta non vuoto .