Teoremi per la completezza dei numeri reali

Convergenza di successione monotone e limitate in

Note

Sia una successione monotona crescente, cioè:

superiormente limitate:

Allora la successione è convergente in :

Dimostrazione

Per il teorema di completezza di è sufficiente provare che la successione è di Cauchy, cioè:

Ragionando per assurdo, supponiamo che non sia di Cauchy:

Possiamo sempre pensare che così per la monotonia e , cioè:

Per

Quindi possiamo dire che

Di conseguenza, non è superiormente limitata, contraddicendo una delle ipotesi.

Insiemi limitati

Note

Dato un insieme , un numero è detto estremo superiore di se è il minimo dei maggioranti di .

Analogamente, un numero è detto estremo inferiore di se è il massimo dei maggioranti di .

L’estremo superiore si indica con , mentre l’estremo inferiore si indica con . Se gli estremi appartengono all’insieme ( o ) allora sono detti massimo o minimo e si indicano con e .

Se un insieme non è limitato allora non esistono maggioranti o minoranti, e non esistono quindi o .

Esistenza dell'estremo superiore per insiemi superiormente limitati

Se è superiormente limitato, allora esiste

Dimostrazione

Poiché è superiormente limitato, esiste maggiorante di :

Sia un elemento fissato di in modo che:

Sia il punto medio di e consideriamo i due sub-intervalli e . Evidentemente in almeno uno dei due sub-intervalli vi sono elementi di . Ne scegliamo uno dei due, denotandolo con , optando per quello di destra se entrambe le metà contengono elementi di . Evidentemente abbiamo che:

Inoltre abbiamo che, è maggiorante di :

Iterando questo procedimento (detto dicotomia) otteniamo una successione crescente di intervalli:

Tali che per ogni si ha che è maggiorante di :

E che per ogni si ha che:

Definiamo le successioni crescente e superiormente limitata da , e la successione decrescente e inferiormente limitata da :

Per il teorema della convergenza di successioni monotone limitate in , entrambe le successioni convergono. Inoltre Poiché:

Per le proprietà del limite, esiste un limite comune delle due successioni:

Mostriamo ora che . Infatti, per la proprietà di monotonia del limite, passando al limite:

E quindi è un maggiorante di .

Se per assurdo, non fosse , esisterebbe per il quale sarebbe un maggiorante di , strettamente minore di :

Ma poiché , esisterebbe un per cui . Ciò contraddirebbe il fatto che, per costruzione .

Punti di accumulazione

Punti di accumulazione

Dato un insieme , un punto è detto di accumulazione per se:

L’insieme dei punti di accumulazione di è detto insieme derivato di e si denota con .

Proprietà di Bolzano-Weierstrass

Note

Sia un insieme limitato e infinito. L’insieme dei punti di accumulazione di è allora non vuoto:

Dimostrazione

Poiché è limitato, esiste un intervallo limitato che lo contiene. Sia il punto medio di . Evidentemente almeno uno dei due sub-intervalli e contiene infiniti punti di . Ne scegliamo uno e lo denotiamo con . Avremo che:

Iterando questo procedimento (detto dicotomia) otteniamo una successione decrescente di intervalli:

Tale che per ogni si ha che:

Definiamo le successioni crescente e superiormente limitata da , e la successione decrescente e inferiormente limitata da :

Per il teorema della convergenza di successioni monotone limitate in , entrambe le successioni convergono. Inoltre Poiché:

Per le proprietà del limite, esiste un limite comune delle due successioni:

Scegliendo con (ciò si può fare poiché in vi sono infiniti punti ed al più uno solo di essi può coincidere con ), otteniamo una successione tale che:

Per la proprietà di monotonia del limite delle successioni, abbiamo che:

Così e l’insieme derivato risulta non vuoto .