Numeri reali

Note

Sia , sono relazioni se . L’insieme dei numeri Reali è l’insieme quoziente fra l’insieme delle relazioni di Cauchy e che è una relazione di equivalenza, quindi devono valere riflessività, simmetricità e transitiva:

Operazioni algebriche in

Considero :

• Somma:

• Prodotto:

Queste operazioni in hanno le stesse proprietà di quando si opera in . Inoltre i numeri razionali sono ordinati (non ci sono discontinuità nella linea dei numeri, ad esempio )

Immersione di in

Note

Consideriamo la funzione :

È una successione costante di Cauchy. La funzione è iniettiva e biunivoca, questo significa che ad ogni corrisponde un .

Intervalli di insiemi in

Note

Considerati due numeri reali :

Limiti in

Note

Considero , si dirà che converge a se:

Si mantengono le stesse proprietà dei limiti di successioni razionali.

La condizione di Cauchy per successioni di numeri reali è necessaria e sufficiente per la convergenza.