Forma trigonometrica

Note

Considero un numero complesso

Il numero complesso completo sarà quindi

Definisco l'argomento come

Tip

Possiamo ricavare le seguenti formule:

Tip

Definisco la forma esponenziale di un numero complesso come

È utilizzato principalmente per i prodotti, considerati e , il prodotto è definito come:

Formule di De Moivre

Prodotto tra numeri complessi nella notazione goniometrica (1a formula)

Considerati i due numeri e possiamo affermare che:

E quindi possiamo dire che

Dimostrazione

Considerati i due numeri e

Elevamento a potenza di numero complesso nella notazione goniometrica

Considero e , possiamo affermare che:
E quindi possiamo dire che

Formula delle radici di numeri complessi (2a formula)

Dato e , allora l'equazione Ha esattamente soluzioni distinte: Cioè date da: Dove:

Dimostrazione seconda formula di De Moivre

Mostriamo che sono soluzione di .

Ogni è radice -esima di .

Viceversa mostriamo che la lista esaurisce tutte le radici -esime. Sia una radice di di modulo e . Sostituiamo nell'equazione e otteniamo: Di conseguenza: Quindi tutte le soluzioni sono date dalle formule di De Moivre.

Tip

Le radici -esime di sono vertici di un poligono regolare di lati inscritto sulla circonferenza centrata in di raggio