Note
Considero un numero complesso
Il numero complesso completo sarà quindi
Definisco l’argomento come
Tip
Possiamo ricavare le seguenti formule:
Tip
Definisco la forma esponenziale di un numero complesso come
È utilizzato principalmente per i prodotti, considerati
e , il prodotto è definito come:
Formule di De Moivre
Prodotto tra numeri complessi nella notazione goniometrica (1a formula)
Considerati i due numeri
e possiamo affermare che: E quindi possiamo dire che
Dimostrazione
Considerati i due numeri
e
Elevamento a potenza di numero complesso nella notazione goniometrica
Considero
e , possiamo affermare che: E quindi possiamo dire che
Formula delle radici di numeri complessi (2a formula)
Dato
e , allora l’equazione Ha esattamente
soluzioni distinte: Cioè
date da: Dove:
Dimostrazione seconda formula di De Moivre
Mostriamo che
sono soluzione di . Ogni
è radice -esima di . Viceversa mostriamo che la lista
esaurisce tutte le radici -esime. Sia una radice di di modulo e . Sostituiamo nell’equazione e otteniamo: Di conseguenza:
Quindi tutte le soluzioni sono date dalle formule di De Moivre.
Tip
Le radici
-esime di sono vertici di un poligono regolare di lati inscritto sulla circonferenza centrata in di raggio