Funzioni continue

Sia una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato . Esistono allora il massimo e minimo globali di su :
In altre parole, è il valore massimo e è il valore minimo di su

Ci limiteremo a provare l'esistenza del massimo.

Sia l'estremo superiore dell'immagine della funzione.
Per le proprietà dell'estremo superiore (sia finito che infinito), esiste una successione tale che . Esiste quindi una corrispondente successione tale che e per la quale, evidentemente: Se la successione assumesse solo un numero finito di valori, anche assumerebbe solo n numero finito di valori. Ma poiché , esisterebbe un certo per il quale .
Si avrebbe allora , e quindi sarebbe infinito ed un valore massimo per ( sarebbe allora un punto di massimo cercato)

Se invece fosse costituita da un numero infinito di valori, in quanto insieme limitato, per il teorema di Bolzano-Weierstrass sull'esistenza di punti di accumulazione di insiemi limitati ed infiniti, ammetterebbe almeno un punto di accumulazione . Esisterebbe quindi almeno una sotto-successione convergente a e , per continuità di si avrebbe: Questo dimostrerebbe che è finito e che appartiene a . sarebbe quindi il valore massimo di , assunto da in (punto di massimo).

Sia data una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato . Se èallora

Per comodità di notazione poniamo e , per cui: Sia il punto medio di . Se abbiamo trovato il punto dove si annulla. Altrimenti, tra e , denotiamo con quello a cui estremi assume il segno opposto: Iterando questo procedimento, a meno che in uno dei punti medi ottenuti la funzione si annulli, otteniamo una successione decrescente di intervalli: tali che Definiamo le successioni crescente e superiormente limitata da , e la successione decrescente e inferiormente limitata da : Per il teorema della convergenza di successioni monotone limitate in , entrambe le successioni convergono. Inoltre Poiché: Per le proprietà del limite, esiste un limite comune delle due successioni: Passando al limite, per il teorema della permanenza del segno, e poiché è continua si ha E quindi che .

Sia data una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato e siano i suoi valori massimo e minimo su . Allora:

In particolare l'immagine di una funzione continua su di un intervallo chiuso è l'intervallo chiuso :

Siano un punto di minimo e un punto di massimo di su . Possiamo limitarci al caso .
La conclusione del teorema discerne allora applicando il teorema degli zeri alla funzione continua definita da sull'intervallo chiuso , in quanto: Poiché . Esiste quindi tale che per cui .