Analisi matematica 1

Limiti e continuità di funzioni a variabili reali

3 minuti

Limite di funzione

Considerata una funzione , si dice che ha limite in se:

Ciò significa che esiste una soglia oltre la quale i punti si accumulano verso un valore reale . ( è definito come insieme dei punti di accumulazione). Inoltre viene posto perché il limite non comprende il punto.

Si può considerare anche solo un intorno monolaterale di un punto, in questo caso si parla di limite destro o sinistro:

  • Limite destro:
  • Limite sinistro:

Nel caso una funzione sia continua solo da destra o sinistra possiamo scrivere:

Proprietà dei limiti

  1. Unicità limite:
è
  1. Intorno:
  1. Somma:
  1. Prodotto:
  1. Quoziente:
  1. Permanenza del segno:

Se una funzione è positiva in tutto il suo dominio, allora il limite della funzione in qualsiasi punto sarà positiva, e viceversa. 7. Monotonia

You can't use 'macro parameter character #' in math mode \begin{align*}&\text{se }f(x)\leq g(x)\leq h(x)\quad,\quad x\in((x_{0}-\delta(\varepsilon),(x_{0}+\delta(\varepsilon))\\&\text{allora } \lim_{x\to x_{0}}f(x)\leq \lim_{x\to x_{0}}g(x)\leq \lim_{x\to x_{0}}h(x) \end{align*} $$ ### Continuità della funzione composta >[!note] > >Considero $f: D(f)\to\mathbb{R}$ e $g: D(g)\to\mathbb{R}$. Siam $\text{Im}(f)\subseteq D(g)$, allora: >$$ >g\circ f:D(f)\to\mathbb{R}\quad,\quad g\circ f:=g(f(x)) >$$ >Supponendo che $x_{0}\in D(f)$ sia punto di accumulazione, allora: >$$ >\exists y_{0}:=f(x)\quad\exists l:=\begin{cases} > \lim_{x\to x_{0}} g(y) \\ > y=y_{0} > \end{cases}\Longrightarrow \exists\lim_{x\to x_{0}} g(f(x))=l > $$ >[!example] Dimostrazione > >$$ >\begin{cases} >\lim_{y\to y_{0}}g(y)&= g(y_{0})\\ >\lim_{x\to x_{0}}f(x)&= f(x_{0})=y_{0} >\end{cases}\Longrightarrow \exists\lim_{x\to x_{0}} g(f(x))=g(y_{0}) >$$ >Passando alla definizione formale dei due limiti: >$$ >\begin{align*} >\forall \varepsilon>0\quad\exists\delta(\varepsilon)>0\quad&|\quad|y-y_{0}|<\delta(\varepsilon)\Longrightarrow |g(y)-g(y_{0})|<\varepsilon\\ >\forall \varepsilon'>0\quad\exists\delta'(\varepsilon')>0\quad&|\quad|y-y_{0}|<\delta'(\varepsilon')\Longrightarrow |g(y)-g(y_{0})|<\varepsilon'\\ >\end{align*} >$$ >Scegliendo $\varepsilon':=\delta(\varepsilon)$, otterremo: >$$ >\begin{align*} > |x-x_{0}|<\delta'(\varepsilon)&\Longrightarrow |f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon'=\delta(\varepsilon)\\ > &\Longrightarrow\varepsilon>|g(f(x))-g(f(x_{0}))|=|(g\circ f)(x)-g(y_{0})| > \end{align*} > $$ ### Continuità della funzione inversa >[!note] > >Considero una funzione $f:(a,b)\to\mathbb{R}$ iniettiva e continua in $x_{0}\subset(a,b)$, possiamo considerare la funzione inversa $f^{-1}: \text{Im}(f)\to D(f)$: >$$ >\begin{cases} > f^{-1}(f(x))=x \\ > f(f^{-1}(y))=y > \end{cases}\Longrightarrow f^{-1}\text{ continua in } y_{0}:= f(x_{0}) > $$ >Considerata una funzione continua $f(x)$, se esiste la sua funzione inversa $f^{-1}(x)$, allora anch'essa è una funzione continua. ### Limiti notevoli >[!tip] Funzioni goniometriche > >$$ >\begin{align*} > &\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1&& > \lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x}=0\\ > &\lim_{x\to0}\frac{1-\cos x}{x^{2}}= \frac{1}{2}&& > \lim_{x\to0} \frac{\sin mx}{\sin nx}= \frac{m}{n}\\ > &\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}=1&& > \lim_{x\to0}\frac{\arcsin x}{x}=1\\ > &\lim_{x\to0}\frac{\arctan x}{x}=1&& > \lim_{x\to0}\frac{(\arccos x)^{2}}{1-x}=2 > \end{align*} > $$ >[!tip] Funzioni esponenziali e logaritmiche > >$$ >\begin{align*} > &\lim_{x\to\infty} \left(1+ \frac{1}{x}\right)^{x}=e&&\lim_{x\to0} (1+x)^{\frac{1}{x}}=e\\ > &\lim_{x\to0}\frac{\log_{a}(1+x)}{x}=\log_{a}e&&\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=1\\ > &\lim_{x\to0}\frac{a^{x}-1}{x}=\ln a&&\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=1\\ > &\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{k}-1}{x}=k&&\lim_{x\to\infty} \frac{x^{n}}{a^{x}}=0\quad (a>1)\\ > &\lim_{x\to\infty}\frac{a^{n}}{n!}=0&&\lim_{x\to\infty}\frac{1}{1+a^{x}}=\begin{cases} > 1\text{ se } a<1\\ > \frac{1}{2}\text{ se } a=1\\ > 0\text{ se } a>1 > \end{cases} > \end{align*} > $$