Analisi matematica 1

Funzioni continue

4 minuti

Note

Considerando la definizione di limite per funzioni continue, se si dice che la funzione è continua nel punto , in simboli:

Proprietà delle funzione continua

Considero una funzione :

  1. Somma:
  1. Prodotto:
  1. Quoziente:
  1. Inversa:
  1. Composta:
  1. Potenza ennesima:
  1. Continuità dei polinomi:
  1. Continuità di funzioni razionali:
  1. Continuità del seno e del coseno:
You can't use 'macro parameter character #' in math mode \sin,\cos\in C(\mathbb{R}) $$ ### Teorema di Weierstrass >[!note] > >Sia $f\in C([a,b])$ una funzione continua sull'intervallo chiuso e limitato $[a,b]\subset\mathbb{R}$. Esistono allora il massimo e minimo globali di $f$ su $[a,b]$: >$$ >\exists x_{m},x_{M}\in[a,b]\quad |\quad x\in[a,b]\Longrightarrow f(x_{m})\leq f(x)\leq f(x_{M}) >$$ >In altre parole, $M:=f(x_{M})$ è il valore massimo e $m:=f(x_{m})$ è il valore minimo di $f$ su $[a,b].$ >[!example] Dimostrazione > >Ci limiteremo a provare l'esistenza del massimo. > >Sia $M:=\sup(\text{Im}(f))\in\mathbb{R}\cup\set{+\infty}$ l'estremo superiore dell'immagine $\text{Im}(f):=\set{f(x)\in\mathbb{R}:\quad x\in[a,b]}$ della funzione. >Per le proprietà dell'estremo superiore (sia finito che infinito), esiste una successione $\set{y_{n}}_{n\in\mathbb{N}}\subset\text{Im}(f)$ tale che $\lim\limits_{n}y_{n}=M$. Esiste quindi una corrispondente successione $\set{x_{n}}_{n\in\mathbb{N}}\subset[a,b]$ tale che $f(x_{n})=y_{n}$ e per la quale, evidentemente: >$$ >\lim_{n}f(x_{n})=\lim_{n}y_{n}=M >$$ >Se la successione $\set{x_{n}}_{n\in\mathbb{N}}\subset[a,b]$ assumesse solo un numero finito di valori, anche $\set{y_{n}}_{n\in\mathbb{N}}\subset\text{Im}(f)$ assumerebbe solo n numero finito di valori. Ma poiché $\lim\limits_{n}y_{n}=M$, esisterebbe un certo $n\in\mathbb{N}$ per il quale $y_{n}=M$. >Si avrebbe allora $M=y_{n}\in\text{Im}(f)\subseteq\mathbb{R}$, e quindi $M$ sarebbe infinito ed un valore massimo per $f$ ($x_{n}\in[a,b]$ sarebbe allora un punto di massimo $x_{M}$ cercato) > >Se invece $\set{x_{n}}_{n\in\mathbb{N}}$ fosse costituita da un numero infinito di valori, in quanto insieme limitato, per il teorema di Bolzano-Weierstrass sull'esistenza di punti di accumulazione di insiemi limitati ed infiniti, ammetterebbe almeno un punto di accumulazione $x_{M}\in[a,b]$. Esisterebbe quindi almeno una sotto-successione $\set{x_{n_{k}}}_{k\in\mathbb{N}}\subseteq\set{x_{n}}_{n\in\mathbb{N}}$ convergente a $x_{M}$ e $\lim\limits{k}=x_{n_{k}}=x_{M}$, per continuità di $f$ si avrebbe: >$$ >M=\lim_{n\to\infty} y_{n}=\lim_{n\to\infty} f(x_{n})=\lim_{k\to\infty} f(x_{n_{k}})= f(\lim_{k\to\infty} x_{n_{k}})=f(x_{M})\in\text{Im}(f)\subseteq\mathbb{R} >$$ >Questo dimostrerebbe che $M:=\sup(\text{Im}(f))\in\mathbb{R}$ è finito e che appartiene a $\text{Im}(f)$. $M$ sarebbe quindi il valore massimo di $\text{Im}(f)$, assunto da $f$ in $x_{M}\in[a,b]$ (punto di massimo). ### Teorema degli zeri >[!note] > >Sia data una funzione continua $f\in C([a,b])$ sull'intervallo chiuso e limitato $[a,b]\subset\mathbb{R}$. Se >$$ >f(a)\cdot f(b)<0\quad\text{cioè}\quad\text{sgn}(f(a))\neq\text{sgn}(f(b)) >$$ > allora > $$ > \exists x_{0}\in(a,b)\quad |\quad f(x_{0})=0 > $$ >[!example] Dimostrazione > >Per comodità di notazione poniamo $a_{0}:= a$ e $b_{0}:= b$, per cui: >$$ >f(a_{0})\cdot f(b_{0})<0 >$$ >Sia $c:=\frac{a_{0}+b_{0}}{2}$ il punto medio di $[a_{0},b_{0}]$. Se $f(c)=0$ abbiamo trovato il punto $x_{0}:= c$ dove $f$ si annulla. Altrimenti, tra $[a_{0},c]$ e $[c,b_{0}]$, denotiamo con $[a_{1},b_{1}]$ quello a cui estremi $f$ assume il segno opposto: >$$ >f(a_{1})\cdot f(b_{1})<0 >$$ >Iterando questo procedimento, a meno che in uno dei punti medi ottenuti la funzione si annulli, otteniamo una successione decrescente di intervalli: >$$ >\cdots\subset[a_{n+1},b_{n+1}]\subset[a_{n},b_{n}]\subset\cdots\subset[a_{1},b_{1}]\subset[a_{0},b_{0}] >$$ >tali che >$$ >f(a_{n})\cdot f(b_{n})<0\qquad\forall n\in\mathbb{N} >$$ >Definiamo le successioni $\set{a_{n}}$ crescente e superiormente limitata da $b_{0}$, e la successione $\set{b_{n}}$ decrescente e inferiormente limitata da $a_{0}$: >$$ >\begin{align*} >\cdots\leq a_{n}\leq a_{n+1}\leq\cdots\leq b_{0}\\ >a_{0}\leq\cdots\leq b_{n+1}\leq b_{n}\leq\cdots >\end{align*} >$$ >Per il teorema della convergenza di successioni monotone limitate in $\mathbb{R}$, entrambe le successioni convergono. Inoltre Poiché: >$$ >\lim_{n\to+\infty} b_{n}-a_{n}=\lim_{n\to+\infty}\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}=0 >$$ >Per le proprietà del limite, esiste un $\overline{x}\in\mathbb{R}$ limite comune delle due successioni: >$$ >\exists!\overline{x}=\lim_{n\to+\infty}a_{n}=\lim_{n\to+\infty}b_{n}\in\mathbb{R} >$$ >Passando al limite, per il teorema della permanenza del segno, e poiché $f$ è continua $\overline{x}$ si ha >$$ >f(\overline{x})^{2}=f(\overline{x})\cdot f(\overline{x})=\left(\lim_{n\to\infty}f(a_{n})\right)\left(\lim_{n\to\infty}f(b_{n})\right)=\lim_{n\to\infty}f(a_{n})\cdot f(b_{n})\leq 0 >$$ >E quindi che $f(\overline{x})=0$. ### Proprietà dei valori intermedi >[!note] > >Sia data una funzione continua $f\in C([a,b])$ sull'intervallo chiuso e limitato $[a,b]\subset\mathbb{R}$ e siano >$$ >M:=\underbrace{\max f}_{[a,b]}\quad m:=\underbrace{\min f}_{[a,b]} >$$ >i suoi valori massimo e minimo su $[a,b]$. Allora: >$$ >\forall\lambda\in (m,M)\quad\exists x_{\lambda}\in[a,b]\quad |\quad f(x_{\lambda})=\lambda >$$ > >In particolare l'immagine di una funzione continua $f$ su di un intervallo chiuso $[a,b]$ è l'intervallo chiuso $[m,M]$: >$$ >\text{Im}(f):= f([a,b]):=\set{f(x)\in\mathbb{R}:\quad x\in[a,b]}=[m,M] >$$ >[!example] Dimostrazione > >Siano $x_{m}$ un punto di minimo e $x_{M}$ un punto di massimo di $f$ su $[a,b]$. Possiamo limitarci al caso $x_{m}<x_{M}$. >La conclusione del teorema discerne allora applicando il teorema degli zeri alla funzione continua $g\in C([x_{m},x_{M}])$ definita da $g(x):=f(x)-\lambda$ sull'intervallo chiuso $[x_{m},x_{M}]$, in quanto: >$$ >f(x_{m})\cdot g(x_{M})=(m-\lambda)(M-\lambda)<0 >$$ >Poiché $m<\lambda<M$. Esiste quindi $x_{\lambda}\in(x_{m},x_{M})$ tale che $0=g(x_{\lambda})=f(x_{\lambda})-\lambda$ per cui $f(x_{\lambda})=\lambda$.