Limiti di successioni

Note

Il limite di successione è una successione che converge al numero e in simboli si scrive:

Le definizioni formali di limite sono: Dove è l'errore (o tolleranza) e è la soglia, cioè il valore oltre il quale la successione è racchiusa nell'intervallo .

Possiamo quindi dire che se la successione si troverà in punti casuali, altrimenti per si accumulerà verso il valore del limite .

Proprietà dei limiti

Unicità di un limite

Limitatezza di una successione

Somma di limiti

Prodotto di limiti

Quoziente di limiti

Teoremi delle successioni

Teorema della permanenza del segno
Teorema della monotonia
Prodotto di successione convergente e successione limitata
Teorema di Cauchy

Se la successione è convergente (esiste limite finito), allora i punti della successione oltre ad una certa soglia sono vicini tra di loro (si accumulano i punti fra loro stessi).

Dimostrazione teorema di Cauchy

Sia al valore limite
Quindi se si ha:

Di conseguenza il teorema di Cauchy è condizione necessaria affinché una successione converga verso un valore definito e limitato nell'insieme , ma non nell'insieme .