Note
Il limite di successione
è una successione che converge al numero e in simboli si scrive: Le definizioni formali di limite sono:
Dove
è l’errore (o tolleranza) e è la soglia, cioè il valore oltre il quale la successione è racchiusa nell’intervallo . Possiamo quindi dire che se
la successione si troverà in punti casuali, altrimenti per si accumulerà verso il valore del limite .
Proprietà dei limiti
Unicità di un limite
Limitatezza di una successione
Somma di limiti
Prodotto di limiti
Quoziente di limiti
Teoremi delle successioni
Teorema della permanenza del segno
Teorema della monotonia
Prodotto di successione convergente e successione limitata
Teorema di Cauchy
Se la successione è convergente (esiste limite finito), allora i punti della successione oltre ad una certa soglia sono vicini tra di loro (si accumulano i punti fra loro stessi).
Dimostrazione teorema di Cauchy
Sia
al valore limite Quindi se si ha: Di conseguenza il teorema di Cauchy è condizione necessaria affinché una successione converga verso un valore definito e limitato nell’insieme
, ma non nell’insieme .